2.1 Nociones elementales

Definición 2.1.

Sea \( P \) un conjunto. Un orden (u orden parcial) en \( P \) es una relación binaria \( \leq \) tal que, para cualesquiera \( x,y,x\in P \), se verifican las propiedades siguientes:

(a)

(Reflexividad) \( x\leq x \).
(b)

(Antisimetría) Si \( x\leq y \) y \( y\leq x \), entonces \( x=y \).
(c)

(Transitividad) Si \( x\leq z \) y \( y\leq z \), entonces \( x\leq z \).

Un conjunto (parcialmente) ordenado es un par \( (P,\leq) \) con \( P \) un conjunto y \( \leq \) un orden en \( P \). En ocasiones, cuando no exista posibilidad de confusión en cuanto a la relación de orden involucrada, hablaremos simplemente del conjunto ordenado \( P \) en lugar del conjunto ordenado \( (P,\leq) \). Cuando \( x,y \) son tales que \( x\leq y \) o \( y\leq x \), diremos que dichos elementos son comparables. En cambio, si ninguna de las desigualdades anteriores es cierta, diremos que \( x \) y \( y \) son no comparables. Un orden en un conjunto \( P \) es un orden total (o orden lineal) si todos los elementos de \( P \) son comparables. En ese caso, también decimos que \( P \) es una cadena. En cambio, cuando cada elemento de \( P \) sólo es comparable con sigo mismo, decimos que \( P \) es una anticadena.

Si \( P \) es un conjunto ordenado y \( x,y\in P \), escribimos \( y\geq x \) para expresar que \( x\leq y \), y \( x<y \) para dar a entender que \( x\leq y \) con \( x\neq y \). De este modo, todo orden \( \leq \) en un conjunto \( P \) da lugar a una relación de desigualdad estricta \( < \).

En todo conjunto, la igualdad \( = \) es una relación de orden, que llamaremos orden discreto. Con dicho orden, todo conjunto se convierte en una anticadena.

Si \( X \) es un subconjunto de un conjunto ordenado \( (P,\leq) \), entonces \( X \) es él mismo un conjunto ordenado mediante la restricción de \( \leq \) a los pares del conjunto \( X\times X \). A esta forma de ordenar al subconjunto \( X \) lo llamamos el orden inducido por \( P \). Ahora bien, sobre un subconjunto \( X \) puede estar definido un orden \( \leq_{X} \) que nada tiene que ver con el orden del conjunto ambiente \( P \), pero si acaso existe la relación de que para cualesquiera \( x,y\in X \) se tiene

\[ x\leq_{X}y\qquad\text{implica}\qquad x\leq y, \]

decimos que \( X \) es un subposet de \( P \). Esta terminología viene del inglés, donde se abrevia “conjunto parcialmente ordenado” mediante la palabra “poset” (de partially ordered set). Así pues, en un subposet contamos con “una versión más débil del orden inducido”: dos elementos de \( X \) pueden ser incomparables respecto del orden \( \leq_{X} \), pero sí ser comparables mediante el orden inducido \( \leq \).

Ejemplo 2.2.

Sea \( P \) el conjunto de los primeros \( n \) enteros positivos, \( P=\{1,\ldots,n\} \). Usaremos la notación \( \mathbf{n} \) para representar la cadena \( (P,<) \) que resulta de tomar \( < \) como la desigualdad ordinaria de números enteros, con la cual

\[ 1<2<\cdots<n. \]

Ejemplo 2.3.

Todo conjunto parcialmente ordenado \( P \) es una anticadena con el orden discreto. Representaremos por \( \overline{\mathbf{n}} \) al conjunto \( P=\{1,\ldots,n\} \) visto como anticadena.

Gráfico — Figura 2.1. Diagrama de Hasse para el conjunto ordenado \( \mathop{\mathcal{P}\kern-1.1625pt}\left(\{1,2,3\}\right) \), con el orden dado por la inclusión de conjuntos.

Isomorfismos de orden

Necesitamos ser capaces de reconocer cuándo dos conjuntos ordenados \( P \) y \( Q \) son “esencialmente los mismos”. Esta idea se formaliza mediante el concepto de isomorfismo de orden. Diremos que \( P \) y \( Q \) son conjuntos ordenados isomorfos (o que son orden-isomorfos) si existe una aplicación biyectiva \( \varphi:P\rightarrow Q \) que preserva el orden, es decir, tal que

\[ x\leq y\qquad\text{implica}\qquad\varphi(x)\leq\varphi(y) \]

para cualesquiera \( x,y\in P \). Exigir que \( \varphi \) sea biyectiva es un tanto redundante, pues la inyectividad se deduce de que la aplicación ha de preservar el orden. En efecto, pues \( \varphi(x)=\varphi(y) \) equivale a que \( \varphi(x)\leq\varphi(y)\leq\varphi(x) \), de donde se sigue que \( x\leq y\leq x \), es decir, \( x=y \) y por tanto \( \varphi \) es inyectiva.

Lema de Zorn

Lema de Zorn. Si P es un conjunto parcialmente ordenado tal que toda cadena suya tiene una cota superior, entonces \( P \) contiene al menos un elemento maximal.

Definición 2.4.

Una relación \( \leq \) en un conjunto \( X \) se dice un buen orden si es una relación de orden total y si todo subconjunto no vació de \( X \) cuanta con un elemento minimal (que necesariamente es un mínimo por tratarse de un orden total). Diremos que \( (X,\leq) \) es un conjunto bien ordenado cuando \( \leq \) sea un buen orden sobre el conjunto \( X \).

Un subconjunto \( X \) de un conjunto bien ordenado \( A \) se llama un segmento inicial si cuenta con la propiedad de que, si \( x\in X \) y \( y\leq x \) entonces \( y\in X \). Como ejemplo de un segmento inicial, tenemos el conjunto \( L(a)=\{x\in A\mid x<a\} \).

Lema 2.5.

Supóngase que \( X \) es un segmento inicial de un conjunto bien ordenado \( (A,\leq) \), con \( X\neq A \). Entonces \( X \) es de la forma \( L(a) \) para cierto elemento \( a\in A \).

Demostración:

Puesto que \( X\neq A \), el conjunto \( A\setminus X \) es no vacío, de manera que posee un elemento mínimo, digamos \( a \). Observamos que todos los elementos de \( L(a) \) están en \( X \) a causa de la minimalidad de \( a \) en \( A\setminus X \). Recíprocamente, todos los elementos de \( X \) son menores que \( a \), pues no es posible que \( a<x \) para algún \( x\in X \), ya que en ese caso el que \( X \) sea un segmento inicial implicaría que \( a\in X \). Esto prueba que \( X=L(a) \). \( \blacksquare \)

Teorema 2.6 (Principio del buen orden).

Todo conjunto no vacío admite un buen orden.

Demostración:

Sea \( A \) un conjunto no vacío. Queremos mostrar que existe un buen orden en \( A \). Para esto, consideramos el conjunto de “buenos órdenes parciales”,

\[ \mathcal{W}=\{(W,\leq_{W})\mid W\subseteq A\ \ \text{y}\ \leq_{W}\ \text{es un% buen orden}\}. \]

Este conjunto es no vacío, pues contiene a los conjuntos formados por un solo elemento de \( A \) sobre los cuales se define el único orden posible (el trivial), que es un buen orden. Notemos que un \( W\subseteq A \) puede tener varios buenos órdenes, cada uno de los cuales constituye un elemento único de \( \mathcal{W} \). Ahora bien, en \( \mathcal{W} \) podemos definir un orden parcial \( \preceq \) dado por

\[ (W_{1},\leq_{1})\preceq(W_{2},\leq_{2}) \]

si y sólo si \( W_{1} \) es un segmento inicial de \( W_{2} \). Concretamente, esto significa que \( \leq_{1} \) es la restricción de \( \leq_{2} \) al subconjunto \( W_{1}\subseteq W_{2} \), y que existe un \( w\in W_{2} \) tal que \( W_{1}=L(w)=\{x\in W_{2}\mid x<_{2}w\} \). El hecho de que \( \preceq \) sea un orden parcial se sigue de que todo segmento inicial de un segmento inicial es a su vez un segmento inicial, o sea que \( \preceq \) es reflexiva y transitiva. Que \( \preceq \) es antisimétrica es evidente. Así pues, tenemos que \( (\mathcal{W},\preceq) \) es un conjunto parcialmente ordenado.

Ahora mostraremos que toda cadena \( (\mathcal{W},\preceq) \) tiene una cota superior. Para esto, supongamos que \( \mathcal{C}=\{(W_{\lambda},\leq_{\lambda})\mid\lambda\in I\} \) es una de dichas cadenas, y formemos la unión de sus elementos, \( B=\bigcup_{\lambda\in I}W_{\lambda} \). Esta unión es claramente una cota superior de los elementos de \( \mathcal{C} \). Pero hay algo más: esta unión admite un orden natural con el cual queda bien ordenado. En efecto, basta definir \( \leq_{B} \) en \( B \) como sigue: para \( x,y\in B \), existen índices \( \lambda,\mu\in I \) tales que \( x\in W_{\lambda} \) y \( y\in W_{\mu} \), y como \( C \) es una cadena, uno de estos conjuntos está contenido en el otro, y podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que \( (W_{\lambda},\leq_{\lambda})\preceq(W_{\mu},\leq_{\mu}) \), en cuyo caso \( x \) y \( y \) son ambos elementos de \( W_{\mu} \) y la comparación entre ambos puede hacerse ahí. En otras palabras, definimos que \( x\leq_{B}y \) o que \( y\leq_{B}x \) según sea \( x\leq_{\mu}y \) o \( y\leq_{\mu}x \).

Hasta ahora lo que tenemos es que \( \leq_{B} \) es un orden parcial en \( B \). Para ver que es un buen orden, supongamos que \( S\subseteq B \) es no vacío. Entonces existe un índice \( \lambda\in I \) tal que \( S\cap W_{\lambda}\neq\varnothing \). El conjunto \( (W_{\lambda},\leq_{\lambda}) \) es, por hipótesis, bien ordenado, con el orden \( \leq_{\lambda} \) siendo la restricción de \( \leq_{B} \) a \( W_{\lambda} \). Es por esto que \( S\cap W_{\lambda} \) tiene un mínimo \( m \), el cual debe ser también un mínimo de \( S \) con el orden inducido \( \leq_{B} \). En efecto, pues si no fuese de esta manera, existiría un \( m^{\prime}\in S \) tal que \( m^{\prime}<m \), mismo que debe estar incluido en \( W_{\mu} \) para algún índice \( \mu\in I \). Puesto que \( \mathcal{C} \) es una cadena, debemos tener \( (W_{\lambda},\leq_{\lambda}) \) y \( (W_{\mu},\leq_{\mu}) \) son comparables. Si ocurre que \( W_{\mu}\subseteq W_{\lambda} \), entonces, \( m^{\prime}\in S\cap W_{\lambda} \), en contradicción con la minimalidad de \( m \) en dicha intersección. Por otra parte, si ocurriese la inclusión inversa, \( W_{\lambda}\subseteq W_{\mu} \), el hecho de que se trate de segmentos iniciales implicaría que \( m^{\prime}\in W_{\lambda} \) y de nuevo que \( m^{\prime}\in S\cap W_{\lambda} \), que acabamos de ver que es imposible. Tenemos, pues, que \( m \) es el mínimo de \( S \) y por tanto \( (B,\leq_{B}) \) es bien ordenado.

Retomando el hecho de que \( \mathcal{C} \) es una cadena y que \( B \) es una cota superior de la misma, y siendo esta cadena arbitraria, hemos establecido las condiciones necesarias para aplicar el lema de Zorn al conjunto parcialmente ordenado \( (\mathcal{W},\preceq) \) para obtener de él un elemento maximal, digamos \( (W_{m},\leq_{m}) \). Vamos a demostrar que, de hecho, \( W_{m}=A \).

Si \( x \) fuese un elemento de \( A\setminus W_{m} \), podríamos extender la relación \( \leq_{m} \) al conjunto \( \{x\}\cup W_{m} \) sin más que declarar \( w\leq_{m}x \) para todo \( w\in\{x\}\cup W_{m} \). Con esto, \( \{x\}\cup W_{m} \) sería claramente un conjunto bien ordenado que tendría a \( W_{m} \) como uno de sus segmentos iniciales, o sea que \( W_{m}\preceq\{x\}\cup W_{m} \), en contradicción con la maximalidad de \( W_{m} \) en \( (\mathcal{W},\preceq) \). Así pues, \( A\setminus W_{m} \) no puede contener ningún elemento \( x \), debiendo ser \( W_{m}=A \). Concluimos entonces que \( \leq_{m} \) es un buen orden en \( A \). \( \blacksquare \)

Es momento de examinar la estructura propiamente dicha de un conjunto bien ordenado. Primero, tenemos que todo conjunto bien ordenado \( (A,\leq) \) hereda una partición muy simple en clases de equivalencia. Digamos que dos elementos \( x,y\in A \) son cercanos si no existe más que un número finito de elementos entre ellos, es decir, si, suponiendo que \( x\leq y \), el intervalo \( [x,y]=\{t\in A\mid x\leq t\leq y\} \) es finito.

Observemos que, usando únicamente el hecho de que \( \leq \) es un orden total en \( A \), podemos concluir que la relación de cercanía es transitiva. En efecto, pues dados cualesquiera tres elementos \( x,y,z\in A \), éstos cuentan con un orden, digamos \( x\leq y\leq z \), lo que obliga a que los tres intervalos \( [x,y],[y,z] \) y \( [x,z] \) sean finitos siempre que dos de ellos lo sean, y esto implica su vez la transitividad de la relación de cercanía. Esta relación es evidentemente reflexiva y simétrica, y por tanto es una relación de equivalencia en \( A \). Denotaremos por \( \{A_{\lambda}\} \) a la familia de las clases de equivalencia inducidas por esta relación.

Un conjunto bien ordenado \( A \) puedo o no contener un elemento maximal. Por ejemplo, cualquier conjunto bien ordenado finito contiene un maximal, mientras que el conjunto \( \mathbb{N} \) de los números naturales no contiene ningún elemento maximal respecto de su orden usual. Ahora bien, si \( A \) tiene un maximal \( m_{A} \), su clase de equivalencia \( A_{\text{max}} \) inducida por la relación de cercanía contiene un mínimo, y entre éste y \( m_{A} \) existe únicamente una cantidad finita de elementos. De otro modo, si no existe un maximal en \( A \), dejamos que \( A_{\text{max}} \) sea vacío. Ya sea que exista maximal o no, sea \( A^{\ast} \) el conjunto de los elementos no maximales de \( A \). El buen orden produce una aplicación inyectiva

\[ \sigma:A^{\ast}\rightarrow A \]

que envía a cada elemento no maximal \( a \) al mínimo \( \sigma(a) \) del conjunto \( \{x\in A\mid x>a\} \). Llamamos a \( a \) el predecesor de \( \sigma(a) \). Notemos que \( a<\sigma(a) \) y que ningún elemento yace entre ambos de forma estricta. Similarmente, para todo \( n\in\mathbb{N} \), si \( \sigma^{n}(a) \) es no maximal, entonces existen exactamente \( n-1 \) elementos estrictamente entre \( a \) y \( \sigma^{n}(a) \), de modo que el conjunto \( \{\sigma^{n}(a)\mid\sigma^{n-1}(a)\in A^{\ast}\} \) está contenido en una clase de equivalencia respecto de la relación de cercanía.

Lema 2.7.

Sea \( A_{\lambda} \) un clase de equivalencia inducida por la relación de cercanía sobre un conjunto \( A \). Entonces

(a)

existe un elemento mínimo \( a_{\lambda} \) del conjunto \( A_{\lambda} \). Este elemento no tiene ningún predecesor;
(b)

recíprocamente, si \( x \) es un elemento de \( A \) que no tiene predecesores, entonces \( x \) es el mínimo de alguna clase de equivalencia;
(c)

si \( A_{\lambda}=A_{\mathrm{max}} \) —o sea, si la clase de equivalencia contiene un maximal de \( A \)—, entonces \( A_{\lambda} \) es un conjunto finito;
(d)

si \( A_{\lambda}\neq A_{\mathrm{max}} \), entonces \( A_{\lambda}=\{\sigma^{n}(a_{\lambda})\mid n\in\mathbb{N}\} \), donde \( a_{\lambda} \) es el mínimo de \( A_{\lambda} \). En este caso, \( A_{\lambda} \) es un conjunto infinito numerable.

Demostración:

(a) Si fuese \( a_{\lambda}=\sigma(x) \) para algún \( x\in A \), entonces, por definición de \( \sigma \), tendremos \( x\in A_{\lambda} \) con \( x<a_{\lambda} \), en contradicción con la minimalidad de \( a_{\lambda} \).

(b) El elemento \( x \) se encuentra en alguna clase \( A_{\lambda} \) con un mínimo \( a_{\lambda} \), luego \( x=\sigma^{n}(a_{\lambda}) \) para algún \( n\in\mathbb{N} \), pero como \( x \) no tiene predecesores, necesariamente \( n=0 \) y así \( x=a_{\lambda} \).

(c) Si \( m\in A \) es un maximal de \( A \), entonces \( m \) es un maximal de su clase de equivalencia \( A_{\mathrm{x}} \), la cual tiene un mínimo \( a \). Puesto que \( \sigma^{n}(a)=m \) para cierto natural \( n\in\mathbb{N} \), la clase \( A_{\mathrm{max}} \) contiene exactamente \( n \) elementos.

(d) Si \( A_{\lambda}\neq A_{\mathrm{max}} \), entonces ningún elemento de \( A_{\lambda} \) es maximal, luego todo elemento \( x \) de dicha clase tiene un sucesor \( \sigma(x) \) con \( x<\sigma(x) \). Por lo tanto, si \( a_{\lambda} \) es el mínimo de \( A_{\lambda} \), todos los elementos \( \sigma^{n}(a_{\lambda}) \) son distintos entre sí para todos los \( n\in\mathbb{N} \), de manera que \( \{\sigma^{n}(a_{\lambda})\mid n\in\mathbb{N}\} \) es un conjunto infinito. Además, es claro que \( A_{\lambda}\subseteq\{\sigma^{n}(a_{\lambda})\mid n\in\mathbb{N}\}\subseteq A_% {\lambda} \). \( \blacksquare \)

Este análisis de conjuntos bien ordenados tiene implicaciones para números cardinales en general.

Corolario 2.8.

Sea \( A \) un conjunto infinito. Entonces existe una biyección de \( A \) con un conjunto de la forma \( \mathbb{N}\times B \). Dicho de otro modo, todo cardinal infinito \( a \) es de la forma \( a=\aleph_{0}\cdot b \) para algún número cardinal \( b \).

Demostración:

Por el teorema 2.6, podemos definir un orden total en el conjunto \( A \) para obtener un conjunto bien ordenado \( (A,\leq) \). Por el lema anterior, el conjunto \( A_{\mathrm{max}} \) de elementos cercanos a un elemento maximal es, o bien finito, o bien vacío. Puesto que \( A \) es infinito, el conjunto \( A\setminus A_{\mathrm{max}} \) es no vacío y cuenta con una partición

\[ \{A_{\lambda}\mid\lambda\in I\} \]

donde \( I \) indexa las clases de equivalencia inducidas por la relación de cercanía que son diferentes de \( A_{\mathrm{max}} \). Cada clase \( A_{\lambda} \) contiene un único elemento mínimo \( a_{\lambda} \) sin predecesor, y cada elemento de \( A_{\lambda} \) puede escribirse como \( \sigma^{n}(a_{\lambda}) \) para un número natural único \( n \). Por tanto, tenemos una biyección

\[ A\setminus A_{\mathrm{max}}\rightarrow\mathbb{N}\times P^{-} \]

donde \( P^{-}=\{a_{\lambda}\mid\lambda\in I\} \) es el conjunto de todos los elementos de \( A \) que no tienen predecesor y que no son cercanos a un elemento maximal. Esta aplicación toma a un elemento arbitrario \( x\in A\setminus A_{\mathrm{max}} \) al par \( (n,a_{\lambda})\in\mathbb{N}\times P^{-} \), donde \( a_{\lambda} \) es el elemento mínimo de la clase de equivalencia de \( x \) y \( x=\sigma^{n}(a_{\lambda}) \).

Ahora es posible añadir el conjunto finito \( A_{\mathrm{max}} \) a una sola de las clases \( A_{\lambda} \) sin cambiar su cardinalidad. Esto nos lleva a una biyección ajustada \( A\rightarrow\mathbb{N}\times P^{-} \), que es lo que buscábamos. \( \blacksquare \)

Corolario 2.9.

Sea \( A \) un conjunto infinito. Entonces existe una biyección \( A\rightarrow\mathbb{N}\times A \). En términos de números cardinales, si \( a \) es un cardinal infinito, entonces \( a=\aleph_{0}\cdot a \).

Demostración:

Basta con demostrarlo en términos de cardinales. Por el corolario anterior, \( a=\aleph_{0}b \) para algún cardinal \( b \). Entonces

\[ \aleph_{0}\cdot a=\aleph_{0}\cdot(\aleph_{0}\cdot b)=(\aleph_{0}\cdot\aleph_{0% })\cdot b=\aleph_{0}\cdot b=a. \]

\( \blacksquare \)

Ideales de orden

Definición 2.10.

Sea \( (P,\leq) \) un conjunto parcialmente ordenado. Un ideal de orden de \( P \) es un subconjunto parcialmente ordenado inducido \( (J,\leq) \) tal que si \( y\in J \) y \( x \) es un elemento de \( P \) con \( x\leq y \), entonces \( x\in J \). En otras palabras, \( J \) es un conjunto “cerrado respecto al descenso”, lo que significa que todo elemento que esté por debajo de cualquier elemento de \( J \) será de nuevo un elemento de \( J \).

Es fácil comprobar que tanto la unión como la intersección de cualquier familia de ideales de orden es a su vez un ideal de orden.

También está la noción dual de un ideal. Supongamos que \( (F,\leq^{\ast}) \) es un ideal de orden del conjunto parcialmente ordenado dual \( (P^{\ast},\leq^{\ast}) \). ¿Qué clase de conjunto parcialmente ordenado inducido es \( F \)? Se caracteriza por ser un subconjunto de \( (P,\leq) \) con la propiedad siguiente:

Si \( y\in F \) y \( x\in P \) con \( x\geq y \), entonces \( x\in F \).

Cualquier subconjunto de \( P \) con esta misma propiedad recibe el nombre de filtro.

Existe una manera fácil de construir ideales de orden. Tomamos cualquier subconjunto \( X\subseteq P \), y definimos

\[ \mathop{\downarrow}X=\{y\in P\mid y\leq x\ \text{para algún}\ x\in X\}. \]

Notemos que siempre es cierto que \( X\subseteq\mathop{\downarrow}X \), y, de hecho, el ideal de orden \( \mathop{\downarrow}X \) está generado por \( X \) en el sentido de que es la intersección de todos los ideales de orden que contienen a \( X \), o sea que \( \mathop{\downarrow}X \) es el menor de los ideales (respecto de la inclusión de conjuntos) que contienen a \( X \). Desde luego, convendremos en que \( \mathop{\downarrow}\varnothing=\varnothing \). Además, en el caso particular en que \( X=\{x\} \), escribiremos \( \mathop{\downarrow}x \) en lugar de \( \mathop{\downarrow}\{x\} \). Este ideal recibe el nombre de ideal de orden principal generado por \( x \).

Por ejemplo, consideremos el conjunto parcialmente ordenado \( P \) de los divisores de \( 72 \) con el orden dado por la relación de divisibilidad. El ideal de orden generado por \( 24 \) consiste de los divisores de dicho número, que son

\[ \mathop{\downarrow}24=\{24,12,8,6,4,3,2,1\}. \]

En la figura 2.2 se muestra un diagrama de Hasse en el que se resaltan los elementos de \( \mathop{\downarrow}24 \).

Desde luego, todo ideal de orden tiene la forma \( \mathop{\downarrow}X \) para algún conjunto \( X \) (basta tomar al ideal completo como el conjunto generador). Sin embargo, en general, no es necesario tomar a todo el conjunto \( X \) para generar al mismo ideal. Por ejemplo, si \( x,y\in X \) con \( x\leq y \), entonces podemos descartar a \( x \) del conjunto \( X \) y seguir generando el mismo ideal, es decir, que si \( X^{\prime}=X\setminus\{x\} \), entonces \( \mathop{\downarrow}X^{\prime}=\mathop{\downarrow}X \). Así, es posible descartar elementos del conjunto generador que estén por debajo de alguno de sus elementos y, con lo que quede, seguir generando el mismo ideal de orden. Es posible que al lector se le ocurra la idea de que podemos continuar desechando elementos del conjunto generador hasta que nos quedemos con una anticadena. Esto es cierto cuando el conjunto \( X \) es finito, o, más en general, cuando todo elemento de \( X \) está por debajo de algún elemento de \( \mathop{\mathrm{m\acute{a}x}}\nolimits X \). De otro modo, la afirmación es en general falsa.

Existe otro tipo de ideal de orden definido en términos de un subconjunto \( X \) de un conjunto parcialmente ordenado \( P \). Definimos

\[ \bigwedge(\mathop{\downarrow}X)=\bigcap_{x\in X}\mathop{\downarrow}x. \]

Puesto de otro modo, \( \bigwedge\mathop{\downarrow}X=\{y\in P\mid y\leq x\ \text{para todo}\ x\in X\} \). Desde luego, dicho ideal de orden puede resultar vacío. Cuando no es así, decimos que \( X \) está acotado inferiormente —o sea, que existe un \( y\in P \) que está por debajo de cualquier elemento de \( X \).

El lector podrá sin duda inferir en qué consiste el concepto dual de \( \mathop{\downarrow}X \), llamado filtro generado por \( X \) y denotado por \( \mathop{\uparrow}X \). Notemos que \( \mathop{\uparrow}X \) puede describirse como

\[ \mathop{\uparrow}X=\{y\in P\mid\mathop{\downarrow}y\cap X\neq\varnothing\}, \]

es decir, que \( \mathop{\uparrow}X \) consiste de los elementos que cuando descendemos desde ellos pasamos por algún elemento de \( X \).

Los filtros de la forma \( \mathop{\uparrow}\{x\} \) se dicen principales y se denotan por \( \mathop{\uparrow}x \). Por ejemplo, en el conjunto parcialmente ordenado \( P \) de los divisores de \( 72 \), el filtro generado por \( 4 \) es el conjunto de los múltiplos de \( 4 \) en \( P \):

\[ \mathop{\uparrow}4=\{4,8,12,24,36,72\}. \]

En la figura 2.3 se muestra un diagrama de Hasse para este conjunto parcialmente ordenado con los vértices correspondientes a los elementos del filtro \( \mathop{\uparrow}4 \) sombreados. En el diagrama observemos que los elementos de este filtro corresponden a generadores de ideales que al descender pasan por \( 4 \). Por ejemplo, \( \{36,12,4\} \) está incluido en \( \mathop{\uparrow}4 \), y

\[ (\mathop{\downarrow}36)\cap(\mathop{\downarrow}12)\cap(\mathop{\downarrow}4)% \cap\{4\}=\{4\}\neq\varnothing. \]

Observemos también que el filtro principal \( \mathop{\uparrow}4 \) es el complemento del ideal principal \( \mathop{\downarrow}18 \):

\[ \mathop{\uparrow}36=P\setminus(\mathop{\downarrow}18). \]

Otra noción es la del filtro de las “cotas superiores” de un subconjunto \( X \) de un conjunto parcialmente ordenado \( P \):

\[ \bigvee(\mathop{\uparrow}X)=\{y\in P\mid x\leq y\ \text{para todo}\ x\in X\}. \]

Por supuesto, este conjunto, así como el concepto dual de cotas inferiores, puede resultar vació.

Un subconjunto inducido \( X \) de \( P \) se dice convexo si para cualesquiera \( x,y\in X \), todo el intervalo \( [x,y]_{P} \) está contenido en \( X \). Toda intersección de subconjuntos inducidos convexos es a su vez convexo. Observemos que los ideales de orden y los filtros son convexos.

Anticadenas

Dos elementos \( x,y \) de un conjunto parcialmente ordenado \( P \) se dicen incomparables cuando las afirmaciones \( x\leq y \) y \( y\leq x \) son ambas falsas. Una anticadena de \( P \) es un conjunto cuyos elementos son incomparables dos a dos.

Por ejemplo, el conjunto \( \mathop{\mathrm{max}}X \) de los maximales de un subconjunto parcialmente ordenado inducido de \( P \) es siempre una anticadena.

Producto de conjuntos ordenados

Definición 2.11.

Sean \( P_{1},\ldots,P_{n} \) conjuntos ordenados. El producto cartesiano \( P_{1}\times\cdots\times P_{n} \) puede convertirse en un conjunto ordenado imponiendo sobre él el orden dado por la comparación de componente a componente, es decir,

\[ (x_{1},\ldots,x_{n})\leq(y_{1},\ldots,y_{n})\qquad\text{si y sólo si}\qquad x_% {i}\leq y_{i} \]

para todo \( i=1,\ldots,n \).

Como nota aparte, mencionamos que existe otra forma de ordenar los elementos del producto cartesiano de dos conjuntos ordenados \( P \) y \( Q \). Se trata del orden lexicográfico, que consiste en definir que, si \( (a,b),(c,d)\in P\times Q \), entonces \( (a,b)\leq(c,d) \) si y sólo si \( a<c \) o (\( a=c \) y \( b\leq d \)). Esta definición se puede extender inductivamente para establecer el orden lexicográfico sobre el producto cartesiano de una familia finita de conjuntos ordenados. Sin embargo, salvo que se diga lo contrario, cuando hablemos del orden del producto de conjuntos ordenados se entenderá que se trata del orden dado por la comparación componente a componente que definimos más arriba.

Informalmente, el producto \( P\times Q \) se dibuja reemplazando cad apunto del diagrama de \( P \) por una copia del diagrama de \( Q \), y conectando los “puntos correspondientes”; esto asume que los puntos son colocados de tal manera que se obedecen las reglas para dibujar diagramas que establecimos en REF.

La noción del producto de conjuntos ordenados puede extenderse fácilmente a una familia arbitraria de los mismos. Recordemos que los elementos del producto cartesiano \( \prod_{i\in I}P_{i} \) de una familia \( \{P_{i}\}_{i\in I} \) de conjuntos consiste de las aplicaciones \( f:I\rightarrow\bigcup_{i\in I}P_{i} \) tales que \( f(i)\in P_{i} \) para todo \( i\in I \). Imponemos entonces el orden en \( \prod_{i\in I}P_{i} \) comparando sus aplicaciones valor a valor, de tal manera que

\[ f\leq g\qquad\text{si y sólo si}\qquad f(i)\leq g(i) \]

para todo \( i\in I \).

Cuando todos los conjuntos \( P_{i} \) de una familia de conjuntos ordenados \( \{P_{i}\}_{i\in I} \) cuenta con un elemento cero, digamos \( 0_{i}\in P_{i} \), entonces existe la noción de suma directa de conjuntos ordenados, que es el subconjunto ordenado inducido de \( \prod_{i\in I}P_{i} \) formado por las aplicaciones que toman valor \( 0_{i} \) para todos excepto un número finito de índices \( i\in I \). A dicha construcción la representaremos por \( \coprod_{i\in I}P_{i} \). Desde luego, cuando la familia de conjuntos ordenados es finita, los conceptos de producto y suma directa de conjuntos ordenados coinciden.

Operadores de clausura y conexiones de Galois

Necesitamos una cuantas definiciones más relacionadas con aplicaciones entre conjuntos ordenados.

Definición 2.12.

Un operador de clausura es un homomorfismo de orden \( \varphi:P\rightarrow P \) que verifica, para cualesquiera \( x,y\in P \), las condiciones siguientes:

(a)

si \( x\in P \), entonces \( x\leq\varphi(x) \); (extensividad)
(b)

si \( x\leq y \), entonces \( \varphi(x)\leq\varphi(y) \); (monotonía)
(c)

\( \varphi(\varphi(x))=\varphi(x) \). (idempotencia)

A las imágenes de \( \varphi \) las llamamos elementos cerrados de \( P \).

Hay muchos contextos en los que surgen operadores de cierre, y enumeramos algunos:

(1)

La clausura topológica habitual en el conjunto parcialmente ordenado de subconjuntos de un espacio topológico.
(2)

La aplicación que lleva un subconjunto de un grupo (anillo o \( R \)-módulo) al subgrupo (subanillo o submódulo, respectivamente) generado por ese conjunto, dentro del conjunto parcialmente ordenado de todos los subconjuntos de un grupo (anillo o \( R \)-módulo).
(3)

La aplicación que lleva un conjunto de puntos al subespacio que generan en una geometría punto-recta \( (\mathcal{P},\mathcal{L}) \).

Un contexto interesante en el que surgen operadores de clausura son las conexiones de Galois.

Definición 2.13.

Sean \( P \) y \( Q \) conjuntos ordenados. Decimos que una aplicación \( f:P\rightarrow Q \) es antitónica si \( x\leq y \) implica \( f(x)\geq f(y) \). Una conexión de Galois es una tupla \( (P,Q,\varphi,\psi) \) donde \( P \) y \( Q \) \( \varphi:P\rightarrow Q \) y \( \psi:Q\rightarrow P \) son aplicaciones antitónicas tales que, para cualesquiera \( p\in P \) y \( q\in Q \),

\[ q\leq\varphi(p)\qquad\text{si y sólo si}\qquad p\leq\psi(q). \]

Teorema 2.14.

Sea \( (P,Q,\varphi,\psi) \) es una conexión de Galois. Entonces las composiciones

\[ \mathrm{cl}_{P}=\psi\circ\varphi:P\rightarrow P\qquad\text{y}\qquad\mathrm{cl}% _{Q}=\varphi\circ\psi:Q\rightarrow Q \]

son operadores de clausura.

Demostración:

Basta con demostrarlo para \( \mathrm{cl}_{P} \), ya que cualquiera de las tuplas \( (P,Q,\varphi,\psi) \) y \( (Q,P,\psi,\varphi) \) es una conexión de Galois si y sólo si la otra lo es.
Extensividad: Sea \( p\in P \) y tomemos \( q=\varphi(p) \). Por reflexividad, \( q\leq\varphi(p) \), lo que equivale, según la definición de extensión de Galois, a \( p\leq\psi(q)=\psi(\varphi(p))=\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits_{P}(p) \).
Monotonía: Esta propiedad es consecuencia inmediata de que \( \varphi \) y \( \psi \) sean antitónicas. En efecto, pues para cualesquiera \( a,b\in P \),

\[ a\leq b\qquad\Leftrightarrow\qquad\varphi(a)\geq\varphi(b)\qquad% \Leftrightarrow\qquad\psi(\varphi(a))\leq\psi(\varphi(b)). \]

Idempotencia: Sea \( p\in P \). Por extensividad, \( p\leq\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits_{P}(p) \), y por la inversión del orden que causa \( \varphi \),

\[ \varphi(\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits_{P}(p))\leq\varphi(p). \]

Pero como la composición \( \varphi\circ\psi \) también es extensiva (cosa que se demuestra de manera similar al caso \( \psi\circ\varphi \)), tenemos

\[ \varphi(p)\leq(\varphi\circ\psi)(\varphi(p))=\varphi((\psi\circ\varphi)(p))=% \varphi(\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits_{P}(p)), \]

y las dos desigualdades obtenidas nos dan \( \varphi(\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits_{P}(p))=\varphi(p) \). Aplicando \( \psi \) a ambos lados de esta igualdad obtenemos \( \mathop{\mathrm{cl}}\nolimits_{P}(\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits_{P}(p))=% \mathop{\mathrm{cl}}\nolimits_{P}(p) \). \( \blacksquare \)

Ejemplo 2.15.

Este ejemplo exhibe un contexto en el que frecuentemente ocurren aplicaciones antitónicas. Sea \( X=\bigcup_{i\in I}A_{i} \) una unión de conjuntos no vacíos indexados por \( I \). Existe una aplicación natural entre conjuntos potencia ordenados,

\[ \varphi:\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(X\right)\rightarrow\mathop{% \mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(I\right), \]

que lleva a cada \( Y\subseteq X \) con

\[ \varphi(Y)=\{i\in I\mid Y\subseteq A_{i}\}. \]

Por ejemplo, si \( Y \) no está contenido en ningún \( A_{i} \), entonces \( \varphi(Y)=\varnothing \). Por otra parte, si \( Y_{1}\subseteq Y_{2}\subseteq X \), observamos que \( \varphi(Y_{2})\subseteq\varphi(Y_{1}) \) —siendo \( Y_{2} \) más grande, “es más difícil” contenerlo a él que contener a \( Y_{1} \)—. En efecto, pues si \( i\in\varphi(Y_{1}) \), entonces \( Y_{2}\subseteq A_{i} \), luego \( Y_{1}\subseteq Y_{2} \) implica \( Y_{1}\subseteq A_{i} \), es decir, \( i\in\varphi(Y_{1}) \), y por lo tanto debe ser \( \varphi(Y_{2})\subseteq\varphi(Y_{1}) \). Así pues, \( \varphi \) es antitónica. De hecho, observemos que

\[ \varphi(Y)=\bigcap_{x\in Y}\{i\in I\mid x\in A_{i}\} \]

(o bien \( \varphi(Y)=I \) cuando \( Y=\varnothing \)), por lo que

\[ \varphi(Y\cup Z)=\varphi(Y)\cap\varphi(Z). \]

En particular, si \( Y_{1}\subseteq Y_{2} \), entonces \( Y_{2}=Y_{1}\cup(Y_{2}\setminus Y_{1}) \) y por lo tanto

\[ \varphi(Y_{2})=\varphi(Y_{1}\cup(Y_{2}\setminus Y_{1}))=\varphi(Y_{1})\cap% \varphi(Y_{2}\setminus Y_{1})\subseteq\varphi(Y_{1}), \]

lo que muestra de nuevo que \( \varphi \) es antitónica.

Similarmente, se define la aplicación \( \psi:\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(I\right)\rightarrow\mathop{% \mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(X\right) \) por \( \psi(J)=\bigcap_{i\in J}A_{i} \) para todo \( J\subseteq I \), entendiendo que si \( J=\varnothing \) entonces \( \psi(J)=X \). Dada la completa analogía con la definición de \( \varphi \) del párrafo anterior, queda claro que \( \psi \) es también una aplicación antitónica.

Más aún, para cualesquiera \( Y\in\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(X\right) \) y \( J\in\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(I\right) \), las aplicaciones \( \varphi \) y \( \psi \) cumplen \( J\subseteq\varphi(Y) \) si y sólo si \( Y\subseteq\psi(J) \). Para ver esto, notemos que \( J\subseteq\varphi(Y) \) equivale a que \( y\in A_{j} \) para todo \( j\in J \), lo que a su vez equivale a que \( Y\subseteq\bigcap_{j\in J}A_{j}=\psi(J) \).

Por todo lo anterior, tenemos que que \( (X,I,\varphi,\psi) \) es una conexión de Galois y por lo tanto que las composiciones

\[ \mathrm{cl}_{X}=\psi\circ\varphi:\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(X% \right)\rightarrow\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(X\right)\qquad\text% {y}\qquad\mathrm{cl}_{I}=\varphi\circ\psi:\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}% \left(I\right)\rightarrow\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(I\right) \]

son operadores de clausura. Los conjuntos cerrados de \( X \) son exactamente las intersecciones de subfamilias \( \{A_{i}\}_{i\in J} \) (incluida la vacía, que da \( X \)); los cerrados en \( I \) son aquellos \( J \) tales que

\[ J=\{i\in I\mid{\textstyle\bigcap_{j\in J}}A_{j}\subseteq A_{i}\}. \]

Por lo tanto, \( \mathrm{cl}_{X} \) envía a cada \( Y\subseteq X \) con la intersección de la familia de subconjuntos \( A_{i} \) que contienen a \( Y \) (si ningún \( A_{i} \) contiene a \( Y \), entonces \( \mathrm{cl}_{X}(Y)=X \)).

Las conexiones de Galois surgen en contextos variados, especialmente cuando cierto objeto algebraico actúa sobre algo.

Ejemplo 2.16 (Grupos actuando en conjuntos).

Supongamos que \( G \) es el grupo de las biyecciones de un conjunto \( X \) en sí mismo. La operación del grupo es la composición de aplicaciones y su identidad es la aplicación \( 1_{X}:X\rightarrow X \) dada por \( x\mapsto x \) para todo \( x\in X \). Para \( g\in G \), la biyección correspondiente se describe como un operador exponencial, \( x\mapsto x^{g} \).

Consideremos los dos conjuntos ordenados \( \mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(X\right) \) y \( \mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(G\right) \). Definimos

\[ C_{G}:\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(X\right)\rightarrow\mathop{% \mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(G\right) \]

estableciendo que, para todo subconjunto \( U\subseteq X \),

\[ C_{G}(U)=\{g\in G\mid u^{g}=u\ \text{para todo}\ u\in U\}. \]

Esta aplicación es inversora del orden: si \( U\subseteq V \), entonces \( C_{G}(U)\supseteq C_{G}(V) \), pues hay menos elementos de \( G \) que dejen fijos a todos los elementos de \( U\subseteq X \) conforme el conjunto \( U \) se hace más grande.

Recíprocamente, si \( H \) es un subconjunto de \( G \), definimos

\[ \mathop{\mathrm{fij}}(H)=\{x\in X\mid x^{h}=x\ \text{para todo}\ h\in H\}. \]

Entonces \( \mathop{\mathrm{fij}}:\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(G\right)% \rightarrow\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(X\right) \) es una aplicación inversora del orden, pues hay menos elementos de \( X \) que se queden fijos por todos los elementos de \( H \) conforme este último cuenta con más permutaciones de \( G \).

Observamos que si \( U\subseteq\mathop{\mathrm{fij}}(H) \) y \( h\in H \), entonces todo \( u\in U \) cumple \( u^{h}=u \); por tanto, \( h\in C_{G}(U) \) y así \( H\subseteq C_{G}(U) \). Recíprocamente, si \( H\subseteq C_{G}(U) \) y \( u\in U \), entonces \( u^{h}=u \) para todo \( h\in H \); es decir, \( u\in\mathop{\mathrm{fij}}(H) \), o sea que \( U\subseteq\mathop{\mathrm{fij}}(H) \). Concluimos que \( (G,X,C_{G},\mathop{\mathrm{fij}}) \) es una conexión de Galois.

Los conjuntos cerrados de \( G \) son los subgrupos estabilizadores puntuales de subconjuntos de \( X \). Dichos subgrupos son, desde luego, aquellos de la forma \( C_{G}(U) \) para algún \( U\subseteq X \). Por otra parte, los conjuntos cerrados de \( X \) son los de la forma \( \mathop{\mathrm{fij}}(H) \) para algún \( H\subseteq G \).

Ejemplo 2.17.

Sean \( A \) e \( I \) dos conjuntos. Toda relación binaria \( R\subseteq I\times A \) puede entenderse como una familia \( \{A_{i}\}_{i\in I} \) de subconjuntos de \( A \) indexados por \( I \), definiendo, para cada \( i\in I \),

\[ A_{i}=\{a\in A\mid i\mathrel{R}a\}. \]

Similarmente, podemos considerar que \( A \) indexa subconjuntos de \( I \) por medio de la relación \( R \) definiendo

\[ I_{a}=\{i\in I\mid i\mathrel{R}a\}. \]

Nos encontramos entonces justamente con la situación que discutimos en el ejemplo 2.15: las aplicaciones \( \varphi:\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(A\right)\rightarrow\mathop{% \mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(I\right) \) y \( \psi:\mathop{\mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(I\right)\rightarrow\mathop{% \mathcal{P}\kern-1.29167pt}\left(A\right) \) dadas por

\[ \varphi(B)=\bigcap_{a\in B}I_{a}\qquad\text{y}\qquad\psi(J)=\bigcap_{i\in J}A_% {i} \]

para cualesquiera \( B\subseteq A \) y \( J\subseteq I \) dan lugar a una conexión de Galois \( (A,I,\varphi,\psi) \) antitónica.