Si \( X \) es un conjunto, una operación binaria en \( X \) es una aplicación \( \ast:X\times X\rightarrow X \) que envía a cada par \( (x,y) \) de elementos de \( X \) a otro elemento de \( X \). A ese elemento, que es la imagen de \( (x,y) \) por medio de la operación \( \ast \), lo representaremos por \( x\ast y \).
Notemos, pues, que una operación binaria en un conjunto \( X \) se ha definido como una aplicación de dominio \( X\times X \), lo que implica, en particular, que ésta debe estar definida para todo par \( (x,y) \) de dicho dominio. Tenemos así que, por ejemplo, mientras la suma y la multiplicación ordinarias en los conjuntos numéricos de siempre (\( \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R} \) y \( \mathbb{C} \)) son operaciones binarias dadas por
| \[ (x,y)\mapsto x+y\qquad\text{y}\qquad(x,y)\mapsto xy, \] |
no ocurre lo mismo con la resta cuando el conjunto numérico subyacente es \( \mathbb{N} \), pues en ese caso \( x-y \) no siempre existe en \( \mathbb{N} \), osea, que la relación que asocia a cada \( (x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} \) con \( x-y\in\mathbb{N} \) no está definida para todo elemento de \( \mathbb{N}\times\mathbb{N} \). Similarmente, la división ordinaria de números tampoco es una operación binaria en ninguno de los conjuntos numéricos mencionados, pues en cualquiera de esos conjuntos \( x/y \) no estará definida cuando \( y=0 \). No obstante, observemos que, dejando a un lado los conjuntos \( \mathbb{N} \) y \( \mathbb{Z} \), la división sí está definida para todo par \( (x,y) \) cuando al conjunto numérico en consideración le quitamos el cero, o sea, que la división sí es una operación binaria en los conjuntos
| \[ \mathbb{Q}^{\ast}=\mathbb{Q}\setminus\{0\},\qquad\mathbb{R}^{\ast}=\mathbb{R}% \setminus\{0\},\qquad\mathbb{C}^{\ast}=\mathbb{C}\setminus\{0\}. \] |
Notación: En lo sucesivo, al tratar con una operación binaria abstracta (a diferencia de una operación bien conocida sobre un conjunto igualmente conocido), será frecuente el uso de la “notación multiplicativa”, de acuerdo con la cual esta operación se representa mediante el símbolo \( \cdot \) de la multiplicación ordinaria de números. En consecuencia, otras costumbres notacionales tienen efecto, como aquella de utilizar la yuxtaposición de \( x \) y \( y \) para representar el efecto de la operación sobre el par \( (x,y) \) (de manera que \( x\cdot y=xy \)), y de llamar “factores” a los elementos involucrados en la operación y de llamar producto (o multiplicación) de \( x \) y \( y \) al elemento \( xy \). Otras costumbres tomadas de la notación de la multiplicación ordinaria las veremos más adelante.
Ahora bien, cabe resaltar que la notación multiplicativa es simplemente una notación, y que aplicarla a una operación dada no le confiere a ésta, por sí misma, ninguna propiedad conocida propia la multiplicación ordinaria. Por ejemplo, debemos tener presente que, al tratar con una operación binaria \( \cdot \) en un conjunto \( X \), las expresiones como
| \[ xyz, \] |
donde \( x,y,z\in X \), no están claramente definidas de antemano, ya que, como el nombre mismo lo indica, la operación binaria únicamente puede operar sobre dos elementos de \( X \) a la vez, de manera que la expresión anterior no puede entenderse hasta indicar la forma en que debe calcularse operando únicamente con dos factores a la vez. La forma usual de hacer esto es es, desde luego, insertando paréntesis, conviniendo que
| \[ (xy)z \] |
representa el resultado de calcular primero \( xy \) para después multiplicarlo por \( z \), mientras que \( x(yz) \) representa el producto de \( x \) por el resultado de calcular \( yz \). Está claro que una operación es mucho más manejable si, para ella, ambos cálculos nos llevan al mismo resultado para cualesquiera que sean los elementos multiplicados, es decir, si \( (xy)z=x(yz) \) para cualesquiera \( x,y,z\in X \).
Una operación binaria \( \cdot \) en un conjunto \( X \) es asociativa si para cualesquiera \( x,y,z\in X \),
| \[ x(yz)=(xy)z. \] |
Si esto es así, y \( X \) es no vacío, decimos que el par \( (X,\cdot) \) es un semigrupo.
Para simplificar la exposición, por lo regular hablaremos de un “semigrupo \( G \)” para referirnos a un semigrupo \( G,\cdot \) cuya operación no requiere mención explícita, sino que se sobreentiende.
La suma y la multiplicación en \( \mathbb{R} \) (o en cualquiera de los otros conjuntos numéricos elementales) son ejemplos claros de operaciones asociativas, o sea, que \( (\mathbb{R},+) \) y \( (\mathbb{R},\cdot) \) son ambos semigrupos. En cambio, la resta y la división (en \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{R}^{\ast} \), respectivamente) son ejemplos de operaciones no asociativas, pues por ejemplo
| \[ 5-(2-1)=4\qquad\text{mientras que}\qquad(5-2)-1=2. \] |
Sea \( X^{X} \) el conjunto de las aplicaciones de un conjunto \( X \) en sí mismo. Entonces, para cualesquiera \( f,g,h\in X^{X} \)
Cuando tratamos con una operación asociativa, los productos de tres elementos ya no resultan ambiguos, pues de igual si pensamos en \( xyz \) como el producto \( x(yz) \) o como el producto \( (xy)z \). Así pues, en ese caso podemos prescindir de los paréntesis. Un razonamiento inductivo nos dice que esto mismo aplica para productos con cualquier número de factores. Para demostrarlo con detalle, convendremos de inicio que la forma en que se entiende la multiplicación de varios factores es calculando productos progresivamente de izquierda a derecha, tal y como lo precisa la siguiente definición.
Sea \( \cdot \) una operación binaria en un conjunto \( X \), \( n \) un entero positivo y \( x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n} \) elementos de \( X \). El producto de \( x_{1},x_{2},x_{3}\ldots,x_{n} \), en ese orden, se representa por \( x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n} \), o, más sucintamente, por \( \prod_{i=1}^{n}x_{i} \), y se define inductivamente como
| \[ \prod_{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}=\begin{cases}x_{1}&\text{si}% \ n=1\\ (x_{1}\cdots x_{n-1})&\text{si}\ n>1.\end{cases} \] |
Cuando una operación se ejecuta como lo especifica la definición anterior, decimos que ésta es asociativa por la izquierda, pues en tal caso un producto se calcula agrupando factores de izquierda a derecha, de tal manera que, por ejemplo,
| \[ x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}=((((x_{1}x_{2}))x_{3})x_{4})x_{5}. \] |
La asociatividad por la izquierda constituye la regla convencional para hacer cálculos con las operaciones matemática elementales, y es así como las calculadoras numérica evalúan (o deberían evaluar) operaciones con más de dos factores o términos. Esta situación debe tenerse presente para entender resultados con operaciones que no son asociativas siempre que decidamos omitir paréntesis. Por ejemplo, de acuerdo con la convención usual, tenemos que
| \[ 5-3-1=(5-3)-1=1. \] |
Pasamos ahora a demostrar lo que comentábamos sobre la posibilidad de omitir paréntesis, o de insertarlos de forma arbitraria, al operar con elementos de un semigrupo.
Si \( G \) es un semigrupo y \( x_{1},\ldots,x_{n} \) son elementos de \( G \) con \( n>1 \), entonces, para cualesquiera enteros \( r \) y \( s \) tales que \( r+s=n \), se cumple que
| \[ \prod_{i=1}^{n}x_{i}=\left(\prod_{i=1}^{r}x_{i}\right)\left(\prod_{i=1}^{s}x_{% i+r}\right). \] |
Por inducción sobre \( n=r+s \). El caso base \( n=2 \) es obvio. Supongamos el teorema cierto para productos de \( n>1 \) factores o menos. Si \( r+s=n+1 \), entonces
| \( \displaystyle\prod_{i=1}^{r+s}x_{i} \) | \( \displaystyle=\left(\prod_{i=1}^{r+s-1}x_{i}\right)x_{r+s} \) | ||
| \( \displaystyle=\left[\left(\prod_{i=1}^{r}x_{i}\right)\left(\prod_{i=1}^{s-1}x_% {i+r}\right)\right]x_{r+s} \) | |||
| \( \displaystyle=\left(\prod_{i=1}^{r}x_{i}\right)\left[\left(\prod_{i=1}^{s-1}x_% {i+r}\right)x_{r+s}\right] \) | |||
| \( \displaystyle=\left(\prod_{i=1}^{r}x_{i}\right)\left(\prod_{i=1}^{s}x_{i+r}% \right). \) |
\( \blacksquare \)