1.2 Aplicaciones (funciones)
Como comentábamos en la introducción de este capítulo, la teoría de conjuntos es ampliamente utilizada por la flexibilidad que ofrece para definir con precisión los conceptos más importantes de las ciencias exactas. Uno de los conceptos más importantes en este ámbito es el de función, que a nivel elemental se describe intuitivamente como una “regla” que asigna a cada objeto de cierto conjunto, conocido como el dominio de la función, un objeto único de otro conjunto, llamado rango de la función. La mayoría de las veces las funciones operan entre conjuntos numéricos y el valor asociado a cada número de su dominio está determinado mediante una fórmula matemática. Así, por ejemplo, cuando se habla de la función de números reales \( f(x)=x^{2} \), se hace referencia a la regla que asocia a cada número real con su cuadrado.
Para definir con precisión el concepto de función, observemos que toda la información relevante que caracteriza a una función puede especificarse mediante un conjunto de pares ordenados. Así, por ejemplo, tenemos que la “función de números reales \( f(x)=x^{2} \)” puede identificarse con el subconjunto \( f \) de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) dado por
| \[ f=\{(x,y)\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid y=x^{2}\}. \] |
En otras palabras, una función no es otra cosa sino un tipo especial de relación según se definió este concepto en la teorema 1.1 Esto nos dice que, en general, podemos adoptar la definición siguiente:
Definición 1.1.
Sean \( A \) y \( B \) dos conjuntos. Una aplicación (o función) de \( A \) en \( B \) es una terna \( (f,A,B) \) donde \( f \) es un subconjunto de \( A\times B \) que verifica las propiedades siguientes:
-
(a)
Para todo \( x\in A \) existe \( y\in B \) tal que \( (x,y)\in f \).
-
(b)
Si \( (x,y)\in f \) y \( (x,y^{\prime})\in f \), entonces \( y=y^{\prime} \);
Usaremos las notaciones
| \[ f:A\rightarrow B\qquad\text{y}\qquad A\overset{f}{\longrightarrow}B \] |
para indicar que \( (f,A,B) \) es una aplicación de \( A \) en \( B \), y los términos dominio de \( f \) y rango de \( f \) tienen el mismo significado que ya tenían en el contexto más general de las relaciones (
Ejemplo 1.2.
Sean \( A=\{a,b,c\} \) y \( B={r,s} \). Entonces el conjunto
| \[ f=\{(a,s),(b,s),(c,s)\} \] |
es una aplicación de \( A \) en \( B \). Esta aplicación queda definida por la fórmula
| \[ f(x)=s\quad\text{para todo}\ x\in A. \] |
Una representación gráfica de esta aplicación aparece en la figura 1.1.
Si \( f:A\rightarrow B \) y \( A^{\prime}\subseteq A \), escribimos \( f(A^{\prime}) \) para representar al conjunto de las imágenes de los elementos de \( A^{\prime} \) por la aplicación \( f \), que llamaremos imagen de \( A^{\prime} \) por \( f \). En símbolos,
| \[ f(A^{\prime})=\{f(x)\in B\st x\in A^{\prime}\}, \] |
o sea que \( y\in f(X) \) si y sólo si existe un \( x\in A^{\prime} \) tal que \( (x,y)\in f \). En particular, \( f(A)=\mathop{\mathrm{ran}}\nolimits f \). Por otra parte, si \( B^{\prime}\subseteq B \), la notación \( f^{-1}(B^{\prime}) \) representa al subconjunto de \( A \) que son enviados a \( B^{\prime} \):
| \[ f^{-1}(B^{\prime})=\{x\in A\st f(x)\in B^{\prime}\}. \] |
Este conjunto recibe el nombre de imagen recíproca de \( B^{\prime} \) por \( f \). En particular, si \( y\in B \), el conjunto \( f^{-1}(\{y\}) \) se dice fibra de \( y \). Desde luego, siempre es cierto que \( f^{-1}(B)=A \).
Sea \( f:A\rightarrow B \) una aplicación. Para cualquier elemento \( x\in A \), el conjunto \( f(\{x\}) \) consiste siempre de un solo elemento. Concretamente,
| \[ f(\{x\})=\{f(x)\}. \] |
En cambio, si \( y\in B \), entonces la fibra \( f^{-1}(\{y\}) \) puede ser vacía o contener más de un elemento. Por ejemplo, para la aplicación \( f \) del ejemplo 1.2, la fibra de \( r \) es vacía y la fibra de \( s \) es la totalidad del domino de \( f \).
Definición 1.3.
Una aplicación \( f:A\rightarrow B \) se dice inyectiva si
| \[ \forall x\forall x^{\prime}(f(x)=f(x^{\prime})\quad\Rightarrow\quad x=x^{% \prime}) \] |
En forma contrapositiva, la condición es que
| \[ x\neq x^{\prime}\quad\Rightarrow\quad f(x)\neq f(x^{\prime}), \] |
para cualesquiera \( x,x^{\prime}\in A \), o sea que una aplicación es inyectiva si distintos elementos de su dominio tienen distintas imágenes.
Adicionalmente, notemos que una aplicación \( f:A\rightarrow B \) es inyectiva si y sólo si la relación inversa \( f^{-1} \) es una aplicación de \( \mathop{\mathrm{ran}}\nolimits f\rightarrow A \). Otra caracterización de la inyectividad nos la da la proposición siguiente.
Proposición 1.4.
Una aplicación \( f:A\rightarrow B \) es inyectiva si y sólo si para cualesquiera \( X,Y\subseteq A \), se tiene \( f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y) \).
Demostración:
Para toda aplicación \( f:A\rightarrow B \) es cierto que \( f(X)\cap f(Y)\subseteq f(X\cap Y) \). Si \( y\in f(X)\cap f(Y) \), entonces existen \( x\in X \) y \( x^{\prime}\in Y \) tales que \( f(x)=y=f(x^{\prime}) \), luego si \( f \) es inyectiva será \( x=x^{\prime} \) y por tanto \( x\in X\cap Y \), de donde se sigue que \( f(x)\in f(X\cap Y) \), o sea que cuando \( f \) es inyectiva tenemos también la inclusión inversa \( f(X\cap Y)\subseteq f(X)\cap f(Y) \).
Recíprocamente, supongamos que \( f \) preserva las intersecciones de conjuntos, es decir, que \( f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y) \) para cualesquiera \( X,Y\subseteq A \). Entonces para cualesquiera \( x,x^{\prime}\in A \), será \( f(\{x\})\cap f(\{x^{\prime}\})\subseteq f(\{x\}\cap\{x^{\prime}\}) \), o sea que \( \{x\}\cap\{x^{\prime}\} \) es no vacío y por tanto es forzoso que \( x=x^{\prime} \). \( \blacksquare \)
Definición 1.5.
Una aplicación \( f:A\rightarrow B \) se dice ser sobreyectiva (o que es una sobreyección) si \( f(A)=B \), es decir, si todo \( y\in B \) es imagen de algún \( x\in A \). En símbolos, la condición es que
| \[ \forall y\in B[\exists x\in A(y=f(x))]. \] |
Equivalentemente, una aplicación \( f:A\rightarrow B \) es sobreyectiva si y sólo si \( f(\{y\})\neq\varnothing \) para todo \( y\in B \). En ese caso, observemos que
| \[ f(f^{-1}(B^{\prime}))=B^{\prime} \] |
para todo subconjunto \( B^{\prime} \) de \( B \). En efecto, pues si \( f \) es sobreyectiva y \( y\in B^{\prime}\subseteq B \), entonces existe \( x\in A \) tal que \( y=f(x) \), y como este \( x \) está en \( f^{-1}(B^{\prime}) \), \( y=f(x)\in f(f^{-1}(B^{\prime})) \). Esto prueba que \( f(f^{-1}(B^{\prime}))\subseteq B^{\prime} \), y como la inclusión inversa es siempre cierta (sea \( f \) sobreyectiva o no), la igualdad buscada se cumple.
Definición 1.6.
Decimos que una aplicación \( f:A\rightarrow B \) es biyectiva (o que es una biyección) si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Definición 1.7.
La composición de dos aplicaciones \( f:A\rightarrow B \) y \( g:B\rightarrow C \) no vacías es la aplicación \( g\circ f:A\rightarrow C \) dada por
| \[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \] |
Proposición 1.8.
La composición de aplicaciones obedece la ley asociativa: si \( f:A\rightarrow B \), \( g:B\rightarrow C \) y \( h:C\rightarrow D \) son aplicaciones no vacías, entonces
| \[ h\circ(g\circ h)=(h\circ g)\circ f. \] |
La proposición siguiente se demuestra fácilmente.
Proposición 1.9.
Sean \( f:A\rightarrow B \) y \( g:B\rightarrow C \). Se verifican los hechos siguientes:
-
(a)
Si \( f \) y \( g \) son inyectivas, también lo es \( g\circ f \).
-
(b)
Si \( f \) y \( g \) son sobreyectivas, también lo es \( g\circ f \).
-
(c)
Si \( g\circ f \) es inyectiva, también lo es \( f \).
-
(d)
Si \( g\circ f \) es sobreyectiva, también lo es \( g \).
Teorema 1.10.
Sea \( f:A\rightarrow B \) no vacía. Entonces
-
(a)
\( f \) es inyectiva si y sólo si existe una aplicación \( g:B\rightarrow A \) tal que \( g\circ f=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{A} \);
-
(b)
\( f \) es sobreyectiva si y sólo si existe una aplicación \( h:B\rightarrow A \) tal que \( f\circ h=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{B} \).
Demostración:
(a) La afirmación en la dirección (\( \Leftarrow \)) se sigue del inciso (c) de la proposición 1.9. Recíprocamente, supongamos que \( f \) es inyectiva. Entonces \( f^{-1}=\{(y,x)\in B\times A\st(x,y)\in f\} \) es una aplicación \( f(A)\rightarrow A \), y la demostración estará completa si podemos extenderla a una aplicación \( g \) cuyo dominio sea todo el conjunto \( B \). Por hipótesis, \( A\neq\varnothing \), de manera que podemos elegir un \( a\in A \) al cual enviar todos los elementos de \( B\setminus f(A) \). Con más precisión, definimos
| \[ g=f^{-1}\cup(B\setminus f(A))\times\{a\}. \] |
Está claro que \( g \) es una aplicación de \( B \) en \( A \) y que satisface \( g\circ f=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{A} \). \( \blacksquare \)
Definición 1.11.
Si \( f:A\rightarrow B \) y \( g:B\rightarrow A \) son tales que \( g\circ f=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{A} \) y \( f\circ g=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{B} \), entonces decimos que \( g \) es la aplicación inversa de \( f \).
Hablar de “la aplicación inversa” de \( f \), en lugar de “una aplicación inversa”, está justificado por el hecho de que ésta, de existir, debe ser única. En efecto, pues si \( g \) y \( h \) son dos aplicaciones inversas de \( f \), entonces
| \[ g=g\circ\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{B}=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=% \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{A}\circ h=h. \] |
Queda entonces justificada también la notación \( f^{-1} \) para representar a la inversa de \( f \) (siempre y cuando exista).
Proposición 1.12.
Si \( f:A\rightarrow B \) es biyectiva, entonces \( f^{-1}:B\rightarrow A \) existe y está dada por
| \[ f^{-1}=\{(y,x)\in B\times A\st(x,y)\in f\}. \] |