Para toda familia \( (A_{i})_{i\in I} \) de conjuntos no vacíos, existe una aplicación de elección \( e:I\rightarrow U_{i\in I}A_{i} \) tal que \( e(i)\in A_{i} \) para todo \( i\in I \).
Si \( X\neq\varnothing \) y \( R \) es un relación serial en \( X \) (o sea, que para todo \( x\in X \) existe \( y\in X \) tal que \( x\mathbin{R}y \)) y \( y \) es un elemento fijo de \( X \), entonces existe una sucesión \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) en \( X \) tal que \( x_{0}=y \) y
| \[ x_{n}\mathbin{R}x_{n+1}\qquad\text{para todo}\ n\in\mathbb{N}. \] |
Sea \( X \) un conjunto no vacío y \( R \) una relación serial en \( X \). Para cada \( x\in X \), definimos
| \[ S_{x}=\{y\in X\st x\mathbin{R}y\}. \] |
La serialidad de \( R \) nos garantiza que \( S_{x}\neq\varnothing \). Consideremos entonces la familia \( (S_{x})_{x\in X} \). Por el axioma de elección, existe una aplicación \( e:X\rightarrow X \) tal que
| \[ f(x)\in S_{x}\qquad\text{para todo}\ x\in X, \] |
es decir, \( x\mathbin{R}f(x) \) para todo \( x\in X \). Definimos entonces la sucesión \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) de manera recursiva por
| \( \displaystyle x_{0} \) | \( \displaystyle=y, \) | ||
| \( \displaystyle x_{n+1} \) | \( \displaystyle=f(x_{n})\ \text{para todo}\ n\in\mathbb{N}. \) |
Por construcción, esta sucesión verifica las propiedades descritas por el teorema. \( \blacksquare \)