2.5 Homomorfismos

\( \newcommand{\Implies}{\Rightarrow} \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow} \renewcommand{\emptyset}{\varnothing} \newcommand{\powersetsym}{\mathcal{P}} \newcommand{\fto}{\rightarrow} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\Cx}{\mathbb{C}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Ns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\vv}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\Abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\norm}[1]{ \left\|#1\right\| } \newcommand{\pnorm}[1]{\left\|#1\right\|_p} \newcommand{\supnorm}[1]{\left\|#1\right\|_\infty} \newcommand{\innerprod}[1]{\left\langle #1\right\rangle} \newcommand{\Ceil}[1]{\left\lceil #1\right\rceil} \newcommand{\Floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor} \newcommand{\Conj}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\arccot}{\mathop{\text{arc\,cot}}\nolimits} \newcommand{\arcsec}{\mathop{\text{arc\,sec}}\nolimits} \newcommand{\arccsc}{\mathop{\text{arc\,csc}}\nolimits} \renewcommand{\arg}{\mathop{\text{arg}}\nolimits} \newcommand{\mcd}[1]{\mathop{\text{mcd}}\left(#1\right)} \newcommand{\mcm}[1]{\mathop{\text{mcm}}\left(#1\right)} \renewcommand{\ker}{\mathop{\text{ker}}\nolimits} \newcommand{\grad}{\mathop{\text{grad}}\nolimits} \newcommand{\dom}{\mathop{\text{dom}}\nolimits} \newcommand{\rng}{\mathop{\text{ran}}\nolimits} \newcommand{\diam}{\mathop{\text{diam}}\nolimits} \newcommand{\Obj}{\mathop{\text{obj}}\nolimits} \newcommand{\Hom}{\mathop{\text{hom}}\nolimits} \newcommand{\End}{\mathop{\text{end}}\nolimits} \newcommand{\Aut}[1]{\mathop{\mathrm{aut}}\nolimits(#1)} \newcommand{\Inn}[1]{\mathop{\mathrm{int}}\nolimits(#1)} \newcommand{\Deg}{\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits} \newcommand{\Img}{\mathop{\text{im}}\nolimits} \newcommand{\Id}{\mathop{\mathrm{id}}\nolimits} \newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}\nolimits} \renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} \renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} \newcommand{\Char}{\mathop{\mathrm{car}}\nolimits} \renewcommand{\mod}[1]{\mathop{(\mathop{\text{mód}}\nolimits #1)}} \newcommand{\res}{\mathop{\text{mód}}} \newcommand{\categof}[1]{\mathsf{#1}} \newcommand{\CC}{\categof{C}} \newcommand{\CONJ}{\categof{Conj}} \newcommand{\SET}{\categof{Set}} \newcommand{\GRP}{\categof{Grp}} \newcommand{\AGRP}{\categof{Ab}} \newcommand{\morph}[1]{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{#1}}} \newcommand{\subgr}{\leq} \newcommand{\nsubgr}{\mathrel{\unlhd}} \newcommand{\iso}{\cong} \newcommand{\genby}[1]{\left\langle #1\right\rangle} \newcommand{\symgr}[1][n]{S_{#1}} \newcommand{\GenOf}[1]{\mathop{\text{gen}}\left(#1\right)} \newcommand{\normalizer}[2][G]{{\mathbf N}_{#1}(#2)} \newcommand{\centralizer}[2][G]{{\mathbf C}_{#1}(#2)} \newcommand{\orbit}[2][G]{\mathcal{O}_{#1}(#2)} \newcommand{\stab}[2][G]{#1(#2)} \newcommand{\GL}[2][n]{\mathrm{GL}(#1,#2)} \newcommand{\SL}[2][n]{\mathrm{SL}(#1,#2)} \newcommand{\Ort}[2][n]{\mathrm{O}(#1,#2)} \newcommand{\SO}[2][n]{\mathrm{SO}(#1,#2)} \newcommand{\KleinV}{\mathbf{V}}\)

2.5 Homomorfismos

Definición 2.71. Sean \(G\) y \(H\) dos grupos. Una aplicación \(f: G\fto H\) se dice un homomorfismo si \begin {equation} \label {eq:homomorfismo grps} f(xy) = f(x)f(y) \end {equation} para cualesquiera \(x,y\in G\). En particular, si \(f\) es inyectivo decimos que es un monomorfismo, y si es sobreyectivo decimos que es un epimorfismo. Un homomorfismo de un grupo en sí mismo recibe el nombre de endomorfismo, o automorismo si dicho homomorfismo es un isomorfismo.

El lector debe advertir que en la relación (2.3) que caracteriza a los homomorfismos intervienen dos operaciones: del lado izquierdo, el producto \(xy\) es un producto en \(G\), mientras que en el miembro derecho, \(f(x)f(y)\) es un producto en \(H\).

Antes de proporcionar ejemplos de homomorfismos de grupos, es conveniente conocer el concepto dado en la definición siguiente y también algunas de las propiedades más elementales de los homomorfismos.

Definición 2.72. Si \(f:G\fto H\) es un homomorfismo de grupos, el conjunto \[ \ker f = \{x\in G\mid f(x) = 1_{H}\} \] es un subgrupo de \(G\) al que nos referiremos como su núcleo.

Proposición 2.73. Si \(f: G\fto H\) es un homomorfismo de grupos, entonces

\(f(1_G) = 1_{H}\);
\(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\);
para todo \(n\in \N \), \(f(x^n) = f(x)^n\).

Demostración: (a) Tenemos \(f(1_G) = f(1_G\cdot 1_G) = f(1_G)f(1_G)\), luego \(f(1_G)\) debe ser la identidad de \(H\) de acuerdo con el caso particular de la teorema 2.30. El apartado (b) se sigue de que \(f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = f(1_G) = 1_H\), y (c) se demuestra fácilmente por inducción sobre \(n\).

Proposición 2.74. Si \(f:G\fto H\) es un homomorfismo de grupos, entonces

si \(K\subgr G\), entonces \(f(K) \subgr H\). En particular, \(f(G) \subgr H\);
si \(J\subgr H\), entonces \(f^{-1}(J) \subgr G\). En particular, \(f^{-1}(1) = \ker f \subgr G\).

Ejemplo 2.76. La aplicación \(f:\Z \fto \Z _n\) dada por \(f(k) = [k]\), que por tanto envía a cada entero \(k\in \N \) a su clase residual módulo \(n\), es un homomorfismo de grupos aditivos cuyo núcleo es \(\ker f = \{kn\mid k\in \Z \} = n\Z = \genby n\). Se trata, desde luego, de un epimorfismo.

Ejemplo 2.77. Sea \((\R ^+, \cdot )\) el grupo multiplicativo de los números reales positivos y \((\R ,+)\) el grupo aditivo de todos los números reales. La aplicación \(\log :\R ^+\fto \R \) es entonces un homomorfismo (de hecho, un isomorfismo) entre dichos grupos, como se deduce de la fórmula \[ \log xy = \log x + \log y, \] válida para cualesquiera \(x,y\in \R ^+\). En este caso, tenemos que \(\ker (\log ) = 1\), el subgrupo trivial de \((\R ^+, \cdot )\).

Ejemplo 2.78 (Proyección canónica). Si \(G\) y \(H\) son dos grupos, las aplicaciones \(\pi _G:G\times H\fto G\) y \(\pi _H:G\times H\fto H\) dadas por \((g,h)\mto g\) y \((g,h)\mto h\), respectivamente, son claramente epimorfismos de grupos. Éstos reciben el nombre de proyecciones canónicas (de \(G\times H\) en \(G\) y de \(G\times H\) en \(H\), respectivamente).

Proposición 2.79. Un homomorfismo de grupos \(f:G\fto H\) es un monomorfismo si y sólo si \(\ker f = 1\).

Demostración: Desde luego, si \(f\) es inyectivo entonces sólo hay uno \(x\in G\) tal que \(f(x) = 1_H\), y como \(1_G\) siempre cumple esto, debe ser \(\ker f = \{1_G\}\). Recíprocamente, supongamos que \(\ker f\) es trivial y que \(f(x) = f(y)\). Entonces \(1_H = f(x)f(y)^{-1} = f(x)f(y^{-1}) = f(xy^{-1})\), y por tanto \(xy^{-1}\in \ker f\), luego debe ser \(xy^{-1} = 1_G\) y en consecuencia \(x = y\), lo que demuestra que \(f\) es inyectiva.