2.2 Grupos

\( \newcommand{\Implies}{\Rightarrow} \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow} \renewcommand{\emptyset}{\varnothing} \newcommand{\powersetsym}{\mathcal{P}} \newcommand{\fto}{\rightarrow} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\Cx}{\mathbb{C}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Ns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\vv}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\Abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\norm}[1]{ \left\|#1\right\| } \newcommand{\pnorm}[1]{\left\|#1\right\|_p} \newcommand{\supnorm}[1]{\left\|#1\right\|_\infty} \newcommand{\innerprod}[1]{\left\langle #1\right\rangle} \newcommand{\Ceil}[1]{\left\lceil #1\right\rceil} \newcommand{\Floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor} \newcommand{\Conj}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\arccot}{\mathop{\text{arc\,cot}}\nolimits} \newcommand{\arcsec}{\mathop{\text{arc\,sec}}\nolimits} \newcommand{\arccsc}{\mathop{\text{arc\,csc}}\nolimits} \renewcommand{\arg}{\mathop{\text{arg}}\nolimits} \newcommand{\mcd}[1]{\mathop{\text{mcd}}\left(#1\right)} \newcommand{\mcm}[1]{\mathop{\text{mcm}}\left(#1\right)} \renewcommand{\ker}{\mathop{\text{ker}}\nolimits} \newcommand{\grad}{\mathop{\text{grad}}\nolimits} \newcommand{\dom}{\mathop{\text{dom}}\nolimits} \newcommand{\rng}{\mathop{\text{ran}}\nolimits} \newcommand{\diam}{\mathop{\text{diam}}\nolimits} \newcommand{\Obj}{\mathop{\text{obj}}\nolimits} \newcommand{\Hom}{\mathop{\text{hom}}\nolimits} \newcommand{\End}{\mathop{\text{end}}\nolimits} \newcommand{\Aut}[1]{\mathop{\mathrm{aut}}\nolimits(#1)} \newcommand{\Inn}[1]{\mathop{\mathrm{int}}\nolimits(#1)} \newcommand{\Deg}{\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits} \newcommand{\Img}{\mathop{\text{im}}\nolimits} \newcommand{\Id}{\mathop{\mathrm{id}}\nolimits} \newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}\nolimits} \renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} \renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} \newcommand{\Char}{\mathop{\mathrm{car}}\nolimits} \renewcommand{\mod}[1]{\mathop{(\mathop{\text{mód}}\nolimits #1)}} \newcommand{\res}{\mathop{\text{mód}}} \newcommand{\categof}[1]{\mathsf{#1}} \newcommand{\CC}{\categof{C}} \newcommand{\CONJ}{\categof{Conj}} \newcommand{\SET}{\categof{Set}} \newcommand{\GRP}{\categof{Grp}} \newcommand{\AGRP}{\categof{Ab}} \newcommand{\morph}[1]{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{#1}}} \newcommand{\subgr}{\leq} \newcommand{\nsubgr}{\mathrel{\unlhd}} \newcommand{\iso}{\cong} \newcommand{\genby}[1]{\left\langle #1\right\rangle} \newcommand{\symgr}[1][n]{S_{#1}} \newcommand{\GenOf}[1]{\mathop{\text{gen}}\left(#1\right)} \newcommand{\normalizer}[2][G]{{\mathbf N}_{#1}(#2)} \newcommand{\centralizer}[2][G]{{\mathbf C}_{#1}(#2)} \newcommand{\orbit}[2][G]{\mathcal{O}_{#1}(#2)} \newcommand{\stab}[2][G]{#1(#2)} \newcommand{\GL}[2][n]{\mathrm{GL}(#1,#2)} \newcommand{\SL}[2][n]{\mathrm{SL}(#1,#2)} \newcommand{\Ort}[2][n]{\mathrm{O}(#1,#2)} \newcommand{\SO}[2][n]{\mathrm{SO}(#1,#2)} \newcommand{\KleinV}{\mathbf{V}}\)

2.2 Grupos

Es fácil verificar que si el inverso de un elemento dado existe, entonces es único: si $y,y'$ son inversos de $x$, entonces $y' = y'\cdot 1 = y'(xy) = (y'x)y = 1\cdot y = y$. El inverso de $x\in G$, si éste existe, se representa por $x^{-1}$ en la notación multiplicativa y por $-x$ en la notación aditiva. Desde luego, tenemos que \[ (x^{-1})^{-1} = x. \]

Puesto que nuestro principal interés son los grupos y no los semigrupos ni los monoides, quizá sea conveniente desglosar lo que significa la definición anterior, que nos dice que el par $(G,\cdot )$ es un grupo si cumplen las propiedades siguientes:

Como ya vimos, la identidad de un grupo (más en general, de un monoide) es única, como también lo es el inverso de cualquier elemento del grupo.

Por ejemplo, el conjunto $\N $ de los números naturales (que para nosotros incluye al cero) es un monoide pero no un grupo respecto de la suma ordinaria de dichos números, pues el único elemento invertible es el cero (que es su propio inverso, como ocurre para la identidad de cualquier monoide). En contraste, el conjunto de los números enteros enteros $\Z $ sí es un grupo abeliano respecto de la suma ordinaria de números enteros, con $0$ como la identidad del grupo y con $-x$ el inverso de $x\in \Z $. Siempre que hablemos del grupo $\Z $, se entenderá que nos referimos a $\Z $ con dicha estructura. Por otra parte, observemos que, respecto de la multiplicación, $\Z $ es un monoide pero no un grupo, pues ningún entero distinto de la unidad tiene inverso multiplicativo.

Ejemplo 2.19. Desde luego, son también grupos respecto de la suma los conjuntos $\Q $, $\R $ y $\Cx $. Respecto de la multiplicación, son grupos los conjuntos $\Q ^\ast $, $\R ^\ast $ y $\Cx ^\ast $. También son grupos multiplicativos los conjuntos formados por los elementos positivos de los tres conjuntos anteriores.

Ejemplo 2.20 (Enteros módulo $n$). La relación de congruencia módulo un entero $n$ es de equivalencia, y por tanto induce una partición de $\Z $ en clases de equivalencia, a las que llamamos clases residuales módulo $n$. A la clase de un entero $k$ la representamos por $[k]$, o sea que \[ [k] = \{x\in \Z \mid x\equiv k \mod n\}. \] Al conjunto de todas las clases residuales módulo $n$ lo representamos por $\Z _n$. Del algoritmo de la división se deduce que $\Z _n$ consiste exactamente de las clases \[ [0],\quad [1],\quad [2],\quad \ldots , \quad [n - 1], \] todas ellas distintas entre sí. Sobre este conjunto definimos la operación de suma módulo n por la fórmula \[ [x] + [y] = [x + y]. \] Puesto que esta operación se especifica en términos de representantes de las clases residuales, es necesario verificar que está bien definida comprobando que el resultado de aplicar la fórmula no cambia al tomar otros representantes de las clases, o sea, que si $[x] = [x']$ y $[y] = [y']$, entonces $[x + y] = [x' + y']$. Pero esto es consecuencia directa del inciso (a) de la teorema 1.40.

Se verifica de inmediato que $\Z _n$ es un grupo respecto de la operación de suma módulo $n$. Su elemento neutro es $[0]$, y el inverso de $[x]$ es $[-x] = [n - x]$. Cuando hablemos del grupo $\Z _n$, se entenderá que nos estamos refiriendo a este grupo.

Ejemplo 2.21 (Unidades de $\Z _n$). En $\Z _n$ podemos definir también la multiplicación módulo $n$, en este caso por la fórmula \[ [x][y] = [xy]. \] Por el inciso (b) de la teorema 1.40, esta operación está bien definida, si bien tal operación da a $\Z _n$ estructura de monoide con identidad $[1]$ pero no de un grupo en el caso general, ya que es posible que una clase residual no tenga inverso multiplicativo. Sin embargo, es claro que el subconjunto de $\Z _n$ formado por las clases residuales que sí cuentan con inverso multiplicativo será un grupo respecto de la multiplicación de clases, al que llamamos grupo de las unidades de $\Z _n$ y que representamos por $U(\Z _n)$. En particular, es claro que $[0]\notin U(\Z _n)$, y en general $[x]\in U(\Z _n)$ si y sólo si existe $y\in \Z $ tal que $xy\equiv 1\mod n$. Puesto que \begin {align*} xy\equiv 1\mod n\quad & \Leftrightarrow \quad \text {existe $k\in \Z $ tal que } xy - 1 = kn \\ & \Leftrightarrow \quad \text {existe $k\in \Z $ tal que } xy + kn = 1 \\ & \Leftrightarrow \quad \mcd {x,n} = 1, \end {align*} tenemos \[ U(\Z _n) = \{ [x]\in \Z _n \mid \mcd {x,n} = 1 \}, \] luego $\Abs {U(\Z _n)} = \phi (n)$, donde $\phi $ es la aplicación $\phi $ de Euler. En el caso particular en que $p$ es primo, tenemos \begin {equation*} U(\Z _p) = \Z _p\setminus \{0\} = \{ [1],\ldots ,[p-1] \}. \end {equation*}

Ejemplo 2.22 (Racionales módulo uno). La relación $ \sim $ en el grupo aditivo de los números racionales $ \Q $ dada por $ x\sim y\ \text {si y sólo si}\ x - y \in \Z $ es claramente de equivalencia. Al conjunto de las clases de equivalencia inducidas por esta relación lo representaremos por $ \Q /\Z $, y sobre éste definimos la operación de suma dada por $ [x] + [y] = [x + y]$. Se deja al lector verificar que esta operación está bien definida y que con ella $ \Q /\Z $ forma un grupo aditivo, mismo que llamaremos grupo de los racionales módulo uno.

Ejemplo 2.23. El subconjunto $\{-1,1,i,-i\}$ de $\Cx $, donde $i^2 = -1$, es un grupo respecto de la multiplicación ordinaria de números complejos.

Ejemplo 2.24 (Raíces $n$-ésimas de la unidad). Generalizando el ejemplo anterior, tomemos el número complejo $\zeta = e^{2\pi / n}$ con $n\in \Z ^+$, de manera que \[ \zeta ,\quad \zeta ^2,\quad \zeta ^3,\ldots \quad , \zeta ^{n-1},\quad \zeta ^n = 1, \] son las $n$ raíces $n$-ésimas de la unidad. Puesto que $\zeta ^j = \zeta ^{j\res n}$ y $\zeta ^j \zeta ^k = \zeta ^{j+k}$, éstas forman un grupo respecto de la multiplicación ordinaria de números complejos, al cual representaremos por $\mu _n$. Su elemento neutro es el 1 y el inverso de cada $\zeta ^s$ es $\zeta ^{n-s}$. Siempre que hablemos del grupo de las raíces $n$-ésimas de la unidad nos estaremos refiriendo a esta estructura.

Ejemplo 2.25 (Grupo de Klein). Sea $\KleinV = \{1,a,b,c\}$ y defínase el producto en $\KleinV $ por la siguiente tabla de multiplicar:

|
⋅ |1 a b c
---|--------------
1 |1 a b c
|
a |a 1 c b
|
b | b c 1 a
|
c c b a 1

Tenemos entonces que $1$ es la identidad y que todo elemento de $\KleinV $ es su propio inverso. Verificar que se trata también de una operación asociativa es fácil si observamos que si $x,y$ y $z$ son los tres elementos de $\KleinV $ que no son la identidad, entonces $xy = z$, $xz = y$ y $yz = x$, luego para dichos elementos tenemos que $(xy)z = 1 = x(yz)$, $(xy)y = zy = x = x(yy)$ y que $(xx)y = y = xz = x(xy)$. La asociatividad en el caso en que alguno de estos tres elementos es la identidad es obvia. A $\KleinV $ se le conoce como grupo de Klein.

Ejemplo 2.26 (Producto directo de grupos). Sean $G$ y $H$ dos grupos cualesquiera, y defínase sobre su producto cartesiano $G\times H$ la operación dada por \[ (g,h)(g',h') = (gg', hh'). \] Es inmediato que $G\times H$ forma un grupo respecto de esta operación. A este grupo lo llamamos producto directo de $G$ y $H$. Esta construcción nos da una forma más concreta de obtener el grupo de Klein, pues el lector podrá comprobar que no existe ninguna distinción formal entre la tabla de multiplicar de $\KleinV $ y la de $\Z _2\times \Z _2$ más allá del nombre de los elementos. Más adelante introduciremos las nociones que nos permitirán precisar lo que queremos decir con que no exista una diferencia esencial entre dos grupos.

Ejercicio 2.27. Demostrar que $G\times H$ es abeliano si y sólo si $G$ y $H$ son ambos abelianos.

Solución: Si $ G $ y $ H $ son abelianos y $ g,g'\in G $ y $ h,h'\in H $, entonces $ (g,h)\cdot (g',g') = (gg',hh') = (g'g,h'h) = (g',h')\cdot (g,h) $, luego $ G\times H $ es abeliano. Recíprocamente, si $ G\times H $ es abeliano y $ g,g'\in G $ y $ h,h'\in H $, entonces el hecho de que $ (g,h)\cdot (g',h') = (g',h')\cdot (g,h) $ significa que $ (gg',hh') = (g'g,h'h) $, e igualando componentes obtenemos $ gg' = g'g $ y $ hh' = h'h $, o sea que $ G $ y $ H $ son abelianos.

Ejemplo 2.28. El conjunto de todas las matrices no singulares de $n\times n$ con componentes en $\R $ forman un grupo respecto de la multiplicación de matrices. A este grupo lo llamamos grupo lineal general, y lo representamos por $\GL \R $.

Ahora vamos a establecer algunos resultado básicos en relación a los inversos de los elementos de un grupo $G$. Por ejemplo, tenemos que si $x,y\in G$, entonces \begin {equation} \label {eq:inv xy grupo} (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}, \end {equation} donde no debe pasar inadvertido el orden en que aparecen los factores del miembro derecho. Para comprobar esta igualdad simplemente verificamos que $y^{-1}x^{-1}$ es el inverso de $xy$. En efecto, pues $xy(y^{-1}x^{-1}) = x(yy^{-1})x^{-1} = xx^{-1} = 1$. Un sencillo argumento inductivo extiende la fórmula (2.1) a inversos de productos con cualquier número de factores:

Una consecuencia inmediata de la existencia de inversos en un grupo es que en éste se cumple la ley de cancelación:

Proposición 2.30 (Leyes de cancelación). Si $x,y$ y $z$ son elementos cualesquiera de un grupo $G$, entonces cualquiera de las igualdades $xy = xz$ o $yx = zx$ implica $y = z$. En particular, $xx = x$ implica que $x = 1$.

Demostración: Supongamos que $xy = xz$. Entonces $y = (x^{-1}x)y = x^{-1}(xy) = x^{-1}(xz) = (x^{-1}x)z = z$. El caso en que $yx = zx$ se demuestra de forma similar.

En un grupo $G$, la existencia de inversos permite definir potencias negativas: si $x \in G$, definimos \[ x^{-n} = (x^{-1})^{n} \] para todo entero $n>0$. En la notación aditiva, tenemos $-nx = n(-x)$. Desde luego, esta definición es compatible con las leyes de los exponentes que ya conocíamos para potencias no negativas:

Proposición 2.31 (Leyes de los exponentes). Sean $m$ y $n$ enteros cualesquiera y $x$ un elemento de un grupo $G$. Se verifican las relaciones siguientes:

$x^mx^n = x^{m+n}$;
$(x^n)^{-1} = x^{-n}$;
$(x^m)^n = x^{mn}$.

Demostración: (a) Para $m\geq 0$ y $n\geq 0$ ya lo sabemos. Si $m < 0$ y $n \geq 0$ entonces $-m > 0$ y el caso anterior nos dice que $x^{-m} x^{m+n} = x^n$, de donde se sigue la igualdad buscada. Desde luego, el caso $m \geq 0$ y $n < 0$ puede razonarse manera similar. Finalmente, si $n < 0$ y $m < 0$, entonces $x^{-n}x^{-m} = x^{-n+(-m)}$, y al invertir la ecuación obtenemos $x^{m+n} = x^m x^n$. Esto cubre todos los casos posibles para $m,n\in \Z $.

(b) Se sigue inmediatamente de (a), pues $x^n x^{-n} = x^0 = 1$, luego $x^{-n}$ es en efecto el inverso de $x^n$.

(c) Si $n\geq 0$ entonces $(x^m)^n = x^{mn}$ se sigue de (a) y el principio de inducción matemática sobre $n$. Probado ese caso, tenemos que si $n < 0$ entonces, por (b), $(x^m)^n = ((x^m)^{-n})^{-1} = (x^{-nm})^{-1} = x^{nm}$.

Terminamos la sección mostrando que los axiomas de la teorema 2.18 pueden debilitarse y dar lugar al mismo concepto.

Teorema 2.32. Un semigrupo $G$ es un grupo si y sólo si

$G$ cuenta con “identidad derecha”: existe un $e\in G$ tal que para todo $x\in G$, $xe = x$;
todo elemento de $G$ es “invertible por la derecha”: para todo $x\in G$ existe un $x^{-1}\in G$ tal que $xx^{-1} = e$.

Demostración: PENDIENTE.

Ejercicio 2.33. Dar un ejemplo que demuestre que, en un semigrupo $G$, la existencia de una identidad derecha y de inversos izquierdos no basta para afirmar que $G$ es un grupo.

Solución: Sea $G$ un conjunto de más de un elemento y defínase el producto en $G$ por la fórmula $xy = x$. Es rutina verificar que $G$ es un semigrupo en el que cualquier elemento de $G$ es una identidad derecha. Sin embargo, ningún elemento $e\in G$ puede ser “la identidad” de $G$, pues de otro modo el hecho de que $ex = e$ para todo $x\in G$ implicaría que $e$ es inverso izquierdo de todo elemento de $G$, lo que no puede ser a menos que $G$ consista de un único elemento.

Se deja al lector demostrar la proposición siguiente, que nos da una forma alternativa de caracterizar la estructura de grupo.

Ejercicio 2.35. Demostrar la teorema 2.34.

Solución: Sea $e$ la solución de $ax = a$. Entonces $e$ es una identidad derecha para todo elemento $b\in G$, pues por hipótesis existe una solución $y\in G$ tal para $ya = b$, y haciendo uso de ella encontramos que $be = (ya)e = y(ae) = ya = b$. Por otra parte, $ax = e$ también tiene solución para todo $a\in G$, por lo que todo elemento de $G$ es invertible por la derecha. Así, se cumplen las hipótesis del teorema 2.32 para el semigrupo $ G $, luego este teorema nos dice que $ G $ es un grupo. Recíprocamente, si $ G $ es un grupo, está claro que las ecuaciones $ ax = b $ y $ ya = b $ tienen soluciones únicas $ x = a^{1}b $ y $ y = ba^{-1} $.