\(
\newcommand{\Implies}{\Rightarrow}
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
\newcommand{\powersetsym}{\mathcal{P}}
\newcommand{\fto}{\rightarrow}
\newcommand{\mto}{\mapsto}
\newcommand{\Cx}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Ns}{\mathbb{N}^*}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\vv}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\Abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{\norm}[1]{ \left\|#1\right\| }
\newcommand{\pnorm}[1]{\left\|#1\right\|_p}
\newcommand{\supnorm}[1]{\left\|#1\right\|_\infty}
\newcommand{\innerprod}[1]{\left\langle #1\right\rangle}
\newcommand{\Ceil}[1]{\left\lceil #1\right\rceil}
\newcommand{\Floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor}
\newcommand{\Conj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\arccot}{\mathop{\text{arc\,cot}}\nolimits}
\newcommand{\arcsec}{\mathop{\text{arc\,sec}}\nolimits}
\newcommand{\arccsc}{\mathop{\text{arc\,csc}}\nolimits}
\renewcommand{\arg}{\mathop{\text{arg}}\nolimits}
\newcommand{\mcd}[1]{\mathop{\text{mcd}}\left(#1\right)}
\newcommand{\mcm}[1]{\mathop{\text{mcm}}\left(#1\right)}
\renewcommand{\ker}{\mathop{\text{ker}}\nolimits}
\newcommand{\grad}{\mathop{\text{grad}}\nolimits}
\newcommand{\dom}{\mathop{\text{dom}}\nolimits}
\newcommand{\rng}{\mathop{\text{ran}}\nolimits}
\newcommand{\diam}{\mathop{\text{diam}}\nolimits}
\newcommand{\Obj}{\mathop{\text{obj}}\nolimits}
\newcommand{\Hom}{\mathop{\text{hom}}\nolimits}
\newcommand{\End}{\mathop{\text{end}}\nolimits}
\newcommand{\Aut}[1]{\mathop{\mathrm{aut}}\nolimits(#1)}
\newcommand{\Inn}[1]{\mathop{\mathrm{int}}\nolimits(#1)}
\newcommand{\Deg}{\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits}
\newcommand{\Img}{\mathop{\text{im}}\nolimits}
\newcommand{\Id}{\mathop{\mathrm{id}}\nolimits}
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}\nolimits}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\newcommand{\Char}{\mathop{\mathrm{car}}\nolimits}
\renewcommand{\mod}[1]{\mathop{(\mathop{\text{mód}}\nolimits #1)}}
\newcommand{\res}{\mathop{\text{mód}}}
\newcommand{\categof}[1]{\mathsf{#1}}
\newcommand{\CC}{\categof{C}}
\newcommand{\CONJ}{\categof{Conj}}
\newcommand{\SET}{\categof{Set}}
\newcommand{\GRP}{\categof{Grp}}
\newcommand{\AGRP}{\categof{Ab}}
\newcommand{\morph}[1]{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{#1}}}
\newcommand{\subgr}{\leq}
\newcommand{\nsubgr}{\mathrel{\unlhd}}
\newcommand{\iso}{\cong}
\newcommand{\genby}[1]{\left\langle #1\right\rangle}
\newcommand{\symgr}[1][n]{S_{#1}}
\newcommand{\GenOf}[1]{\mathop{\text{gen}}\left(#1\right)}
\newcommand{\normalizer}[2][G]{{\mathbf N}_{#1}(#2)}
\newcommand{\centralizer}[2][G]{{\mathbf C}_{#1}(#2)}
\newcommand{\orbit}[2][G]{\mathcal{O}_{#1}(#2)}
\newcommand{\stab}[2][G]{#1(#2)}
\newcommand{\GL}[2][n]{\mathrm{GL}(#1,#2)}
\newcommand{\SL}[2][n]{\mathrm{SL}(#1,#2)}
\newcommand{\Ort}[2][n]{\mathrm{O}(#1,#2)}
\newcommand{\SO}[2][n]{\mathrm{SO}(#1,#2)}
\newcommand{\KleinV}{\mathbf{V}}\)
2.4 Subgrupos
Definición 2.54.
Un subconjunto \(H\) de un grupo \(G\) se dice un
subgrupo de \(G\) si \(H\) es
él mismo un grupo respecto de la operación de \(G\). Para que se da esta relación,
escribiremos \(H\subgr G\).
Deducimos de inmediato que todo grupo \(G\) cuenta con al menos dos subgrupos: el
subgrupo trivial \(\{1\}\), que representaremos por \(1\) (o por \(0\) cuando se emplee la notación
aditiva) y el grupo \(G\) mismo. Diremos que un subgrupo \(H\) de \(G\) es propio si \(H\neq G\).
Supongamos que tenemos un subconjunto \(H\) de un grupo \(G\). Sabemos que la
asociatividad de la operación de \(G\) se cumple en particular para \(H\). Por tanto, para que \(H\)
sea un subgrupo la operación de \(G\) debe ser una operación en \(H\) (o sea, que la restricción
a \(H\) de la operación del grupo debe ser cerrada en \(H\)), además de que \(H\) debe contener a la
identidad de \(G\) y a los inversos de cada uno de sus elementos. Resumiendo:
Proposición 2.55.
Sea \(G\) es un grupo y \(H\subset G\). Entonces \(H\subgr G\) si y sólo si se verifican las
condiciones siguientes:
- \(xy\in H\) para cualesquiera \(x,y\in H\);
- \(1\in H\);
- \(x^{-1}\in H\) para todo \(x\in H\).
No obstante, en muchas ocasiones podemos aplicar una forma más práctica de
comprobar que estamos ante un subgrupo.
Proposición 2.56.
Sea \(G\) un grupo y \(H\) un subconjunto no vacío de \(G\). Entonces
\(H\subgr G\) si y sólo si para cualesquiera \(x,y\in H\), tenemos \(xy^{-1}\in H\).
Demostración:
La implicación es evidente. Para el recíproco, mostraremos
que si \(H\neq \emptyset \) y \(xy^{-1}\in H\) para cualesquiera \(x,y\in H\), entonces \(H\) cumple las condiciones (a)–(c) de la
teorema
2.55. Comenzamos por observar que existe al menos un \(a\in H\), y por tanto
también \(1 = aa^{-1}\in H\), de donde a su vez deducimos que si \(x\in H\) entonces \(x^{-1} = 1\cdot x^{-1}\in H\). Finalmente, tenemos
que si \(x,y\in H\) entonces \(y^{-1}\in H\) y por tanto \(xy = x(y^{-1})^{-1}\in H\).
Por otra parte, para grupos finitos, la comprobación de que un subconjunto no
vacío es un subgrupo se reduce a verificar que el subconjunto es cerrado respecto de
la operación de grupo.
Proposición 2.57.
Si \(G\) es un grupo finito y \(H\) un subconjunto no vacío de \(G\),
entonces \(H \subgr G\) si y sólo si \(xy\in H\) para cualesquiera \(x,y\in H\).
Demostración:
Desde luego que un subgrupo ha de cumplir con esa condición.
Recíprocamente, si \(xy\in H\) siempre que \(x\) y \(y\) sean elementos de \(H\), entonces la restricción
de la operación de \(G\) a \(H\) es una operación en \(H\), luego resta comprobar que \(1\in H\) y que \(x^{-1}\in H\)
para todo \(x\in H\). Para esto, tomemos un \(x\in H\) (lo cual es posible porque \(H\neq \emptyset \)). Entonces \(x^n\in H\) para
todo entero positivo \(n\), y como \(G\) es finito, las potencias de \(x\) no pueden ser todas
distintas, o sea que existen enteros \(i < j\) tales que \(x^i = x^j\) y por tanto \(1 = x^{j - i} \in H\) por ser \(j - i > 0\). A demás, \(x^{-1} = x^{j - i - 1}\in H\),
y como \(x\) es un elemento arbitrario de \(G\), queda demostrado que \(H\) también contiene
a los inversos de sus elementos.
Ejemplo 2.58.
Desde luego, \(\Z \subgr \Q \subgr \R \subgr \Cx \).
Ejemplo 2.59.
Si \(m\) es cualquier entero, entonces el conjunto \[ m\Z = \{mk\mid k\in \Z \} \] formado por los
múltiplos de \(k\) es un subgrupo de \(\Z \). En particular, \(0\Z = 0\), el subgrupo trivial.
Ejemplo 2.60.
Por la teorema
2.51, el conjunto de todas las permutaciones
pares es cerrado respecto del producto de \( \symgr \), luego es un subgrupo de éste. A dicho
subgrupo lo llamamos
grupo alternado sobre \(n\) símbolos, y lo representamos por
\(A_n\).
Ejemplo 2.61 (Grupo lineal especial).
Sea \(\SL \R \) el subconjunto de \(\GL \R \) definido
por \[ \SL \R = \{M\in \GL \R \mid \det M = 1\}. \] Entonces \(\SL \R \) es un subgrupo de \(\GL \R \), como puede comprobarse mediante la relación
\(\det (AB) = \det A\cdot \det B\), válida para todo elemento de \(\GL \R \). Este subgrupo de \(\GL \R \) se conoce como el
grupo
lineal especial sobre \(\R \).
Ejemplo 2.62.
Sean \(r = (1\ 2\ 3\ 4)\) y \(s = (1\ 2)(3\ 4)\) en \(\symgr [4]\). Entonces el conjunto de todos los productos de
la forma \(r^is^j\) es un subgrupo de \(\symgr [4]\). Se deja al lector construir la tabla de multiplicar
de este subgrupo y verificar que esta tabla coincide completamente con la del
grupo diedral \(D_8\) del ejemplo
xxx.
Si \(H\) y \(K\) son dos subgrupos de un grupo \(G\), se comprueba sin dificultad que \(H\cap H\) es
también un subgrupo de \(G\) y que, de hecho, la intersección de cualquier familia de
subgrupos de \(G\) es de nuevo un subgrupo de \(G\). Derivado de esta observación tenemos el
concepto siguiente.
Definición 2.63.
Sea \(G\) un grupo y \(X\) un subconjunto de \(G\). Si \(\{H_i\}_{i\in I}\) es la familia de los
subgrupos de \(G\) que contienen a \(X\), decimos que \(\bigcap _{i\in I}H_i\) es el subgrupo de \(G\)
generado por \(X\),
y que \(X\) es un
generador de dicho subgrupo, que representaremos por \(\genby X\). Cuando \(X = \{x_1,\ldots , x_n\}\),
\(\genby X\) se representa también por \(\genby {x_1,\ldots ,x_n}\).
Se deduce inmediatamente de esta definición que \(\genby X\) es el menor de los
subgrupos de \(G\) que contienen a \(X\) (respecto del orden dado por la inclusión de
conjuntos). Puesto que \(\genby X\) es un subgrupo, éste debe contener a las potencias
(positivas y negativas) de los elementos de \(X\) y a los productos de las mismas.
La proposición siguiente nos dice que, de hecho, \(\genby X\) no contiene más que eso.
Proposición 2.64.
Sea \(G\) un grupo y \(X\) un subconjunto cualquiera de \(G\). Entonces
\(\genby X\) es el subgrupo de \(G\) formado por todos los productos de potencias de elementos
de \(X\). En símbolos, \[ \genby X = \left \{\prod _{i=0}^n x_i^{k_i}\biggm | n\in \N ,x_i\in X, k_i\in \Z \right \}. \]
Demostración:
Sea \(H\) el conjunto de tales productos. Es claro que \(H\) es un
subgrupo de \(G\) por la teorema
2.56. Además, \(X\subset H\) y por tanto \(\genby X \subset H\) al ser \(\genby X\) el menor de los
subgrupos de \(G\) que contienen a \(X\). Puesto que \(\genby X\) contiene a cualquier producto de
potencias de elementos de \(X\), \(\genby X\) contiene a \(H\), luego \(H = \genby X\).
Definición 2.65.
Si \(G\) es un grupo y \(x\in G\), al subgrupo \[ \genby x = \{x^k \mid k\in \Z \} \] lo llamamos
grupo cíclico
generado por \(x\).
En la notación aditiva, tenemos que \(\genby x = \{ kx \mid k\in \Z \}\). Así, por ejemplo, para el subgrupo \(m\Z \) del
grupo aditivo \(\Z \) (véase el teorema 2.59) podemos escribir también \[ m\Z = \genby m. \]
Notemos que, puesto que todo subgrupo es él mismo un grupo, tiene sentido
hablar no sólo de subgrupos cíclicos sino también de grupos cíclicos. He aquí
algunos ejemplos de de dichos grupos.
Ejemplo 2.66.
El grupo aditivo \(\Z \) es un grupo cíclico infinito generado por \(1\) y
también por \(-1\). Por su parte, los grupos aditivos \(\Z _n\) de las clases residuales módulo
\(n\) son también cíclicos. Desde luego, \(\Z _n = \genby {[1]}\).
Ejercicio 2.67.
Encontrar un generador de \(\Z _{12}\) que no sea \([1]\).
Solución:
Cualesquiera de las clases siguientes es un generador de \( \Z _{12} \)
: \( [5],[7],[11] \)
.
Ejemplo 2.68.
El grupo multiplicativo de las raíces \(n\)-ésimas de la unidad es
cíclico de orden \(n\) y está generado, por ejemplo, por la raíz \(\xi = e^{2\pi / n}\). En particular,
\begin {equation*} \{1,-1,i,-i\} = \genby {i} = \genby {-i}. \end {equation*}
Ejercicio 2.69.
Demostrar que todo grupo cíclico es abeliano.
Solución:
Sea \( G \)
cíclico y \( g \)
un generador suyo. Si \( x,y\in G \)
, entonces \( x = g^i \)
y \( y = g_j \)
para ciertos enteros \( i,j \)
,
luego \( xy = g^i g^j = g^{i+j} = g^{j + i} = g^j g^i = yx \)
, lo que muestra que \( G \)
es abeliano.
Ejemplo 2.70.
Para todo \( n \geq 1 \), el grupo \( \symgr \) está generado por las transposiciones \( (1\ 2), (1\ 3),\ldots ,(1\ n) \).
Esto es obvio para el caso \( n=1,2 \), así que lo justificaremos asumiendo que \( n \geq 3 \). Puesto
que todo elemento de \( \symgr \) es un producto de transposiciones, basta demostrar que
toda transposición \( i\ j \) es un producto de las transposiciones mencionadas. Esto es
inmediato si \( i \) o \( j \) es \( 1 \), por lo que asumiremos que \( 1,i,j \) son distintos entre sí. Entonces
\[ (i\ j) = (i\ j)^{(1\ i)} = (1\ i)(1\ j)(1\ i), \] luego \( (i\ j) \) tiene la forma deseada.