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2.6 Grupos cíclicos

Definición 2.80. Si \(x\) es un elemento de un grupo \(G\), el orden de \(x\), representado por \(\Abs x\), es el menor de los enteros positivos \(n\) tales que \(x^n = 1\) (o \(nx = 0\) en la notación aditiva). Si no existe tal entero, decimos que \(x\) es de order infinto, hecho que representaremos por \(\Abs {x} = \infty \).

Si \(G\) es un grupo y \(x\in G\) es de orden finito \(n\), entonces la lista \[ 1 = x^0,\qquad x^2,\qquad x^3,\qquad \ldots ,\qquad x^{n-1}, \] despliega sin repeticiones a cada uno de los elementos del grupo cíclico \(\genby x = \{x^n\mid n\in \Z \}\). En efecto, pues si ocurriese una repetición en la lista, digamos \(x^i = x^j\) con \(0\leq i < j < n\), entonces tendríamos que \(x^{j - i} = 1\) con \(0 < j - i < n\), en contradicción con la minimalidad de \( n \). Por otra parte, el hecho de que la lista sea exhaustiva se deduce de que si \(k\) es cualquier entero, entonces, por el algoritmo de la división, la potencia \(x^k\) puede escribirse como \begin {equation} \label {eq:grupos x^k = x^r} x^k = x^{qn + r} = x^{qn}x^r = x^r \end {equation} con \(0\leq r < n\), así que, en efecto, la lista de arriba no omite ninguna de las potencias de \( x \). Tenemos, pues, que \[ \genby x = \{1,x,x^2,\ldots , x^{n-1}\}, \] y, en particular, que \[ \Abs {x} = \Abs {\genby x}. \]

Ejemplo 2.81. En el grupo de Klein (teorema 2.25), todo elemento distinto de la identidad es de orden 2, como podemos verificar observando que los elementos de la diagonal de su tabla de multiplicar son siempre la identidad.
Ejemplo 2.82. En el grupo diedral \(D_8\) (ejemplo xxx), \(r\) y \(r^3\) son de orden \(4\), mientras que \(r^2\) y cualquier reflexión de \(D_8\) son de orden \(2\).
Ejemplo 2.83. El grupo simétrico \(\symgr [3]\) consiste de la identidad, tres transposiciones y dos \(3\)-ciclos. Las transposiciones son de orden \(2\) y los \(3\)-ciclos son de orden \(3\).
Ejemplo 2.84 (Orden de un \(r\)-ciclo). En general, el orden de un ciclo de \(\symgr \) es su longitud. En efecto, pues si \(\alpha = (i_1\ i_2\ i_3 \ldots i_r)\), entonces \(\alpha ^k(i_j) = i_{j+k}\) para todo \(j=1,\ldots , r\) y donde el índice \(j+k\) se toma módulo \(r\), así que \(\alpha ^k(i_j) = i_j\) si y sólo si \(k\equiv 0\mod r\). Esto significa que \(a^k = 1\) si y sólo si \(k\) es múltiplo de \(r\), y por tanto debe ser \(\Abs {\alpha } = r\).

Observemos que la descomposición de \(x^k\) dada en (2.4) nos dice que \[ x^i = x^j\qquad \text {si y sólo si}\qquad i\equiv j\mod n. \] En particular, \(x^k = 1\) si y sólo si \(n\mid k\).

Ahora bien, ¿qué pasa cuando \(x\) es de orden infinito? Pues en ese caso también \(\Abs x = \Abs {\genby x} = \infty \), pues entonces está claro que las potencias de \(x\) son todas distintas, luego \( \genby x \) no puede ser finito. En particular, \(x^k = 1\) si y sólo si \(k = 0\).

Para referencia posterior, recopilaremos en la proposición siguiente lo que hemos deducido hasta este punto.

Proposición 2.85. Sea \(G\) un grupo y \(x\) un elemento de \(G\). Si \(x\) es de orden finito \(n\), entonces
  1. \(x^k = 1\) si y sólo si \(n\mid k\);
  2. \(x^i = x^j\) si y sólo si \(i\equiv j\mod n\);
  3. las distintas potencias de \(x\) son exactamente \(1, x^1, x^2, \ldots , x^{n-1}\);
  4. \(\Abs {\genby x} = n\).

En cambio, si \(x\) es de orden infinito,

  1. las potencias de \(x\) son todas distintas, y en particular \(x^k = 1\) si y sólo si \(k = 0\);
  2. \(\Abs {\genby x} = \infty \).

Supongamos que \(G = \genby x\) es de orden finito \(n\) y que \(k\) es un entero positivo. Vamos a determinar las condiciones que tienen que darse para que \[ x^m\in \genby {x^k}. \] Lo que está claro es que eso ocurre si y sólo si \(x^{tk} = x^m\) para algún entero \(t\), que a su vez equivale a que \(x^{tk - m} = 1\), y esto será cierto, de acuerdo con (a) de la proposición anterior, si y sólo si \(n\mid tk - m\), o sea, si y sólo si \(tk - sn = m\) para cierto \(s\in \Z \). Esta última relación puede satisfacerse si y sólo si \(m\) es un múltiplo de \(\mcd {k,n}\). En conclusión, el grupo generado por \( x^k \) consiste precisamente de las potencias de \( x^{\mcd {k,n}} \), luego tenemos la igualdad \[ \genby {x^k} = \genby {x^{\mcd {k,n}}}. \] Como consecuencia inmediata, deducimos que \(x^k\) será un generador de \(\genby x\) si y sólo si \(k\) y el orden de \(\genby x\) son primos relativos, en cuyo caso será \( \Abs {x^k} = \Abs {x} \).

Por otra parte, si \(k\) es un divisor de \(n = \Abs x\), entonces existe un entero \(m\) tal que \(n = mk\), es decir, tal que \(x^{mk} = 1\), luego es claro que \(m = n/k\) tiene que ser el orden de \(x^k\). Así pues, cuando \(k\mid n\), \[ \Abs {x^k} = \frac {n}{k}. \]

Ahora bien, si \(k\) es arbitrario, el hecho de que \(\genby {x^k} = \genby {x^{\mcd {k,n}}}\) nos dice que \(\Abs {x^k} = \Abs {x^{\mcd {k,n}}}\), y como \(\mcd {k,n}\) es un divisor de \(n\), tenemos que \[ \Abs {x^k} = \frac {n}{\mcd {k,n}}. \]

Tenemos, pues, demostrados los hechos siguientes.

Teorema 2.86. Sea \(G\) un grupo y sea \(x\in G\) de orden finito \(n\). Para todo entero \(k\), se verifican los hechos siguientes:
  1. \(\genby {x^k} = \genby {x^{\mcd {k,n}}}\). En particular, \(\genby {x^k} = \genby x\) si y sólo si \(k\) y \(n\) son primos relativos;
  2. \(\Abs {x^k} = \dfrac {n}{\mcd {k,n}}\). En particular, si \(k\mid n\) entonces \(\Abs {x^k} = \dfrac {n}{k}\).

Para ilustrar mejor los resultados que hemos reunido hasta el momento sobre grupos cíclicos finitos, vamos a estudiar uno de ellos en concreto, el grupo aditivo \(\Z _{12}\). Este grupo está generado por \([1]\) y por tanto \(\Abs {[1]} = 12\). Puesto que toda clase \([k]\in \Z _{12}\) es de la forma \(k[1]\), el inciso (b) de la proposición anterior, adaptado a la notación aditiva de \(\Z _{12}\), nos da que \[ \Abs {[k]} = \Abs {k[1]} = \frac {n}{\mcd {k,12}}. \] En particular, cuando \(k\mid 12\) tendremos \[ \Abs {[k]} = \frac {k}{12}. \] Con estas fórmulas, determinamos que los órdenes de los elementos de \(\Z _{12}\) son como se indican en la tabla siguiente.

|-----|----|---|----|----|----|---|----|----|---|-----|-----| | | | | | | | | | | | | | |-[x-]-|[1]-|[2-]|-[3]-|[4]-|[5]-|[6-]|[7]-|[8]-|[9]|-[10-]|-[11]-| ||[x ]| |12 |6 | 4 | 3 |12 |2 | 12 | 3 | 4 | 6 | 12 | |-----|------------------------------------------------------ | |

Una forma de visualizar por qué, por ejemplo, \(\Abs {[2]} = \frac {12}{2}\), es mediante un grafo circular que represente el cálculo de \(\genby {[k]}\). Dicho grafo se obtiene disponiendo los elementos del grupo \(\Z _{12}\) en un arreglo circular y uniendo el múltiplo \(i\cdot [k]\) de \( [k] \) con el múltiplo \((i+1)\cdot [k]\) del mimo elemento para cada \(i=0,1,2,\ldots \), así hasta que regresemos de nuevo a la identidad \([0]\). Por ejemplo, el grafo circular que representa la generación del subgrupo \[ \genby {[2]} = \{[0], [2], [4], [6], [8], [10]\}. \] es el que se muestra en la figura 2.1. Para obtener este grafo simplemente recorremos los vértices de dos en dos, empezando desde la identidad \([0]\) y uniendo los vértices que encontremos en el recorrido.

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Figura 2.1. Grafo circular para los múltiplos de \([2]\) en \(\Z _{12}\).

Desde luego, para construir el grafo correspondiente a la multiplicación por \([3]\), hacemos lo mismo pero avanzando de tres en tres vértices, como se muestra en la figura 2.2.

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Figura 2.2. Grafos circulares para los múltiplos de \([2]\) y los de \([3]\) en \(\Z _{12}\).

Usando el teorema 2.86, encontramos también que los generadores de \(\Z _{12}\) son las clases \([1],[5],[7],[11]\), pues son éstas las clases cuyos elementos son primos relativos de \(12\). La figura 2.3 nos permite contemplar el grafo circular para el cálculo de \(\genby {[5]} = \Z _{12}\).

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Figura 2.3. Grafo circular para la multiplicación por \([5]\in \Z _{12}\).

Veamos otro ejemplo. Consideremos ahora el grupo \(\Z _{20}\) y los subgrupos \(\genby {[4]}\) y \(\genby {[8]}\). Si calculamos sus elementos de forma explícita, encontramos que dichos grupos son iguales, aunque esto se determina con mayor facilidad mediante el inciso (a) del teorema 2.86, que nos dice que \[ \genby {[8]} = \genby {[\mcd {8,20}]} = \genby {[4]}. \] La figura 2.4 muestra el grafo circular correspondiente al cálculo de estos subgrupos.

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Figura 2.4. Grafos circulares para la multiplicación por \([4]\) y por \([8]\) en \(\Z _{20}\), en los que se observa que \(\genby {[4]} = \genby {[8]}\).

Recordemos que, para todo entero \(n\), la aplicación \(\phi \) de Euler nos da el número \(\phi (n)\) de enteros entre \(0\) y \(n\) que son primos relativos de \(n\). Así, como consecuencia inmediata del teorema 2.86, tenemos que

Corolario 2.87. Si \(x\) es de orden finito \( n \), existen exactamente \(\phi (n)\) generadores de \(\genby x\).

El corolario de arriba cuenta la cantidad de elementos de \( \genby x \) que son del orden del grupo, pero, ¿qué hay del número de elementos que son de orden arbitrario \( d\leq n \)? La verdad es que, como lo establece el teorema 2.90, \( \genby x \) sólo puede tener elementos cuyo orden \( d \) divide al orden del grupo, y cuando ese es el caso, la respuesta a la pregunta que acabamos de hacer nos ese mismo teorema, cuya demostración se apoya en el teorema 2.86 y en el hecho de que todos los subgrupos de un grupo cíclico son a su vez cíclicos. Antes de demostrar esto último, conviene mencionar una consecuencia fácil del teorema 2.86.

Corolario 2.88. Si \(G\) es un grupo finito, entonces el número de elementos de \(G\) de orden \(d\) es un múltiplo de \(\phi (d)\).
Demostración: Si \(x\) y \(y\) son dos elementos de \(G\) de orden \(d\), entonces o bien \(\genby x = \genby y\) o bien \(\genby x \cap \genby y = 1\), de manera que todo elemento de orden \(d\) está en exactamente un subgrupo cíclico de \(G\) de orden \(d\). Entonces, si \(G\) cuenta con \(k\) subgrupos así (donde \(k\) es finito por serlo el orden de \(G\)), habrá precisamente \(k\phi (d)\) elementos de orden \(d\) en \(G\).

Pasemos pues a identificar la estructura que tiene todo subgrupo de un grupo cíclico.

Teorema 2.89. Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
Demostración: Supongamos que \(G = \genby x\) y que \(H\) es un subgrupo de \(G\). Si \(H = 1\), entonces \(H\) es trivialmente cíclico. Supongamos pues que existe al menos un entero positivo \(k\) tal que \(x^k\in H\). En ese caso existe el menor entero \(m\) tal que \(x^m\in H\), y vamos a demostrar que de hecho \(H = \genby {x^m}\). En efecto, pues si \(x^k\in H\) con \(k\) un entero positivo, \(k\) debe ser un múltiplo de \(m\), ya que, por el algoritmo de la división, \( k \) es de la forma \(k = qm + r\) con \(0 \leq r < m\), y si fuese \(r > 0\) tendríamos \(x^r = x^{k-qm} = x^k x^{-qm}\in H\), en contradicción con la minimalidad de \(m\). Por tanto, es \(r=0\), y así \(k\) es un múltiplo de \(m\). Queda así demostrado que \( H \) está generado por \( x^m \) y por tanto es cíclico.

Si \( G = \genby x \) es infinito, está claro que todo subgrupo \( H \) (no trivial) de \( G \) no puede ser finito por que ahí las potencias de \( x \) son todas distintas, luego \( H \) es cíclico infinito. En cambio, cuando \( G \) es de orden finito \( n \), entonces el entero \( m \) de la demostración anterior es siempre un divisor de \( n \), ya que si, por el contrario, \( n \) fuese de la forma \( n = qm + r\) con \( 0 < r < m \), entonces \( x^r = x^n x^{-qm} = x^{-qm}\in \genby {x^m} \), en contradicción con la minimalidad de \( m \) asumida en la demostración. Se sigue de esto y del inciso (b) de teorema 2.86 que \( \genby {x^m} \) es de orden \( n/m \). Esta observación deja demostrada la primera parte del teorema siguiente.

Teorema 2.90. Sea \(G = \genby x\) de orden finito. Si \(H\leq G\), el orden de \(H\) divide al orden de \(G\). Recíprocamente, si \(d\) es un divisor del orden de \(G\), entonces \(G\) tiene un único subgrupo de orden \(d\).
Demostración: Sea \(d\) un divisor de \(n = \Abs {G}\). Entonces \(H = \genby {x^{n/d}}\) es un subgrupo de orden \(d\) por (b) del teorema 2.86. Para ver que éste es el único subgrupo de dicho orden, supongamos que \(K \leq G\) con \(\Abs K = d\). Entonces \(K = \genby {x^m}\) donde \(m\) es el menor de los enteros tales que \(x^m\in K\), y como también \(m\mid n\), el inciso (b) del teorema 2.86 nos da que \[ d = \Abs {x^m} = \frac {n}{m} \] y por tanto que \(m = n / d\), es decir, \(K = \genby {x^m} = \genby {x^{n/d}}\).

Resulta pues que un grupo \(G = \genby x\) de orden finito \(n\) tiene un único subgrupo \(H_d\) para cada divisor \(d\mid n\). Más adelante demostraremos que esta característica es exclusiva de los grupos cíclicos (o sea, que cualquier grupo que cumpla esto deberá ser cíclico).

Es imposible resistir la tentación de aplicar lo que sabemos hemos aprendido sobre grupos cíclicos para dar una demostración de una fórmula bien conocida de la teoría de números.

Teorema 2.91. Para todo entero positivo \( n \), se cumple \[ n = \sum _{d\mid n}\phi (d). \]
Demostración: Consideremos el grupo \( \Z _n \), que es cíclico de orden \( n \). Por el teorema 2.90, para cada divisor \( d \) de \( n \) existe un único subgrupo \( H_d \) de orden \( d \). Si \( \GenOf {H_d} \) representa el conjunto de los generadores de \( H_d \), entonces \[ \Abs {\GenOf {H_d}} = \phi (d) \] de acuerdo con el teorema 2.87. Ahora bien, todo elemento de \( \Z _n \) es generador de algún subgrupo \( H_d \), por lo que \( \Z _n \) es la unión disjunta \[ \Z _n = \bigcup _{d\mid n}\GenOf {H_d}, \] de donde se sigue que \begin {equation*} n = \Abs {\Z _n} = \sum _{d\mid n}\GenOf {H_d} = \sum _{d\mid n}\phi (d). \end {equation*}

Terminamos esta sección mostrando que no es necesario adoptar un enfoque abstracto al tratar con grupos cíclicos, si no que podemos concentrarnos por completo en los grupos \(\Z \) y \(\Z _n\), ya que, en esencia, éstos son los únicos grupos cíclicos que existen.

Teorema 2.92. Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a \(\Z \) y todo grupo cíclico finito lo es a \(\Z _n\).
Demostración: Sea \(\genby x\) cíclico. Es evidente que la aplicación \(f:\Z \fto \genby x\) dada por \(f(k) = x^k\) es un epimorfismo de grupos. Si \(\ker f\) es trivial, entonces \(f\) es un isomorfismo y por tanto \(\genby x \simeq \Z \). Supongamos ahora que \(\ker f \neq 0\). Entonces existe el menor entero positivo \(m\) tal que \(m\in \ker f\), y de hecho \(\ker f = m\Z \). Observamos que \(f(i) = f(j)\) si y sólo si \(i - j\in \ker f = m\Z \), o sea, si y sólo si las clases residuales \([i]_m\) y \([j]_m\) son iguales en \(\Z _m\). Así pues, \(x^i = x^j\) si y sólo si \([i]_m = [j]_m\), por lo que la aplicación \(g:\genby x \fto \Z _m\) dada por \(x^k = [k]\) está bien definida y es inyectiva. Puesto que claramente se trata de un epimorfismo, concluimos que \(\genby x \simeq \Z _m\).

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