2.7 Clases laterales; el teorema de Lagrange

\( \newcommand{\Implies}{\Rightarrow} \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow} \renewcommand{\emptyset}{\varnothing} \newcommand{\powersetsym}{\mathcal{P}} \newcommand{\fto}{\rightarrow} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\Cx}{\mathbb{C}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Ns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\vv}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\Abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\norm}[1]{ \left\|#1\right\| } \newcommand{\pnorm}[1]{\left\|#1\right\|_p} \newcommand{\supnorm}[1]{\left\|#1\right\|_\infty} \newcommand{\innerprod}[1]{\left\langle #1\right\rangle} \newcommand{\Ceil}[1]{\left\lceil #1\right\rceil} \newcommand{\Floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor} \newcommand{\Conj}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\arccot}{\mathop{\text{arc\,cot}}\nolimits} \newcommand{\arcsec}{\mathop{\text{arc\,sec}}\nolimits} \newcommand{\arccsc}{\mathop{\text{arc\,csc}}\nolimits} \renewcommand{\arg}{\mathop{\text{arg}}\nolimits} \newcommand{\mcd}[1]{\mathop{\text{mcd}}\left(#1\right)} \newcommand{\mcm}[1]{\mathop{\text{mcm}}\left(#1\right)} \renewcommand{\ker}{\mathop{\text{ker}}\nolimits} \newcommand{\grad}{\mathop{\text{grad}}\nolimits} \newcommand{\dom}{\mathop{\text{dom}}\nolimits} \newcommand{\rng}{\mathop{\text{ran}}\nolimits} \newcommand{\diam}{\mathop{\text{diam}}\nolimits} \newcommand{\Obj}{\mathop{\text{obj}}\nolimits} \newcommand{\Hom}{\mathop{\text{hom}}\nolimits} \newcommand{\End}{\mathop{\text{end}}\nolimits} \newcommand{\Aut}[1]{\mathop{\mathrm{aut}}\nolimits(#1)} \newcommand{\Inn}[1]{\mathop{\mathrm{int}}\nolimits(#1)} \newcommand{\Deg}{\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits} \newcommand{\Img}{\mathop{\text{im}}\nolimits} \newcommand{\Id}{\mathop{\mathrm{id}}\nolimits} \newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}\nolimits} \renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} \renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} \newcommand{\Char}{\mathop{\mathrm{car}}\nolimits} \renewcommand{\mod}[1]{\mathop{(\mathop{\text{mód}}\nolimits #1)}} \newcommand{\res}{\mathop{\text{mód}}} \newcommand{\categof}[1]{\mathsf{#1}} \newcommand{\CC}{\categof{C}} \newcommand{\CONJ}{\categof{Conj}} \newcommand{\SET}{\categof{Set}} \newcommand{\GRP}{\categof{Grp}} \newcommand{\AGRP}{\categof{Ab}} \newcommand{\morph}[1]{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{#1}}} \newcommand{\subgr}{\leq} \newcommand{\nsubgr}{\mathrel{\unlhd}} \newcommand{\iso}{\cong} \newcommand{\genby}[1]{\left\langle #1\right\rangle} \newcommand{\symgr}[1][n]{S_{#1}} \newcommand{\GenOf}[1]{\mathop{\text{gen}}\left(#1\right)} \newcommand{\normalizer}[2][G]{{\mathbf N}_{#1}(#2)} \newcommand{\centralizer}[2][G]{{\mathbf C}_{#1}(#2)} \newcommand{\orbit}[2][G]{\mathcal{O}_{#1}(#2)} \newcommand{\stab}[2][G]{#1(#2)} \newcommand{\GL}[2][n]{\mathrm{GL}(#1,#2)} \newcommand{\SL}[2][n]{\mathrm{SL}(#1,#2)} \newcommand{\Ort}[2][n]{\mathrm{O}(#1,#2)} \newcommand{\SO}[2][n]{\mathrm{SO}(#1,#2)} \newcommand{\KleinV}{\mathbf{V}}\)

En esta sección obtendremos uno de los resultados elementales más importantes de la teoría de grupos finitos: el teorema de Lagrange. En la sección anterior demostramos que el orden de todo subgrupo de un grupo cíclico \(G\) divide al orden de \(G\) (teorema 2.90). El teorema de Lagrange nos dice que esta relación entre el orden de un grupo y sus subgrupos no es exclusiva de los grupos cíclicos, sino que en realidad se cumple para todo tipo de grupos. Este hecho tan notable se demuestra con facilidad tras conocer los conceptos que introduciremos a continuación.

Definición 2.93. Sea \(G\) un grupo y \(H\subgr G\). Decimos que dos elementos \(x\) y \(y\) de \(G\) son congruentes por la derecha módulo \(H\) si \[ xy^{-1}\in H, \] hecho que indicaremos mediante la notación \(x\equiv _d y\mod H\). Similarmente, \(x\) y \(y\) serán congruentes por la izquierda módulo \(H\), en símbolos \(x\equiv _i y\mod H\), si \(x^{-1}y\in H\).

En otras palabras, \(x\) y \(y\) son congruentes por la derecha módulo un subgrupo \(H\) si \(x = hy\) para algún \(h\in H\), y lo son por la izquierda módulo \(H\) si existe un \(h\in H\) tal que \(x = yh\). Se verifica de inmediato que estas congruencias son relaciones de equivalencia.

Definición 2.94. Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \(G\). Llamamos clase lateral derecha (resp. clase lateral izquierda) de \(x\) por \(H\), representada \(Hx\) (resp. \(xH\)), a la clase de equivalencia de \(x\in G\) por la relación de congruencia por la derecha módulo \(H\) (resp. por la relación de congruencia izquierda módulo \(H\)).

Desde luego, \[ Hx = \{hx\mid h\in H\}\qquad \text {y}\qquad xH = \{ xh \mid h\in H \}, \] y por lo tanto \(xH = Hx = H\) siempre que \(x\in H\). En particular, \(1H = H1 = H\). A demás, puesto que las clases laterales son clases de equivalencia, tenemos que \[ xH \cap yH \neq \emptyset \qquad \text {implica}\qquad xH = yH. \] En particular, si \(y\in xH\) entonces \(yH = xH\).

Cuando empleamos la notación aditiva para la operación de un grupo \(G\), las clases laterales derecha e izquierda de un subgrupo \(H\) por un elemento \(x\in G\) se representan, respectivamente, por \[ H + x = \{h + x \mid h\in H\} \qquad \text {y}\qquad x + H = \{x + h \mid h\in H\}. \]

Ejemplo 2.95. El grupo \(\Z \) es abeliano y por tanto \(x + H = H + x\) para todo subgrupo suyo \(H\) y todo entero \(x\). Ahora bien, los subgrupos de \(\Z \) son todos de la forma \(m\Z \) para algún entero \(m\) de acuerdo con el teorema 2.89, y \(x,y\in \Z \) son congruentes módulo el subgrupo \(m\Z \) si y sólo si \(x - y\in m\Z \), es decir, si y sólo si \(x\equiv y\mod m\). Por tanto, \(x + m\Z = y + m\Z \) si y sólo si \(x\equiv y\mod m\), de manera que \(m\Z \) tiene exactamente \(m-1\) clases laterales distintas: \begin {equation*} m\Z ,\qquad 1 + m\Z ,\qquad 2 + m\Z ,\ldots ,\qquad (m - 1) + m\Z . \end {equation*}

Ejemplo 2.96. El grupo circular \(S^1\) de los números complejos cuyo módulo es la unidad es un subgrupo de \(\Cx ^\ast \), el grupo multiplicativo de los números complejos no nulos. Si \(z\in \Cx \) y \(r = \Abs z\), entonces \[ zS^1 = \{ r e^{\theta } \mid \theta \in [0,2\pi ) \}. \] Así, la clase lateral \(zS^1\) es la circunferencia del plano complejo con centro en el origen y radio \(r = \Abs z\). Por lo tanto, \(zS^1 = wS^1\) si y sólo si \(\Abs z = \Abs w\).

Ejemplo 2.97. Consideremos el subgrupo \(H = \SL {\R }\) del grupo \(\GL {\R }\). Si \(A\in \GL {\R }\), entonces la clase lateral \(AH\) consiste de las matrices cuyo determinante es igual a \(\det A\). Por ejemplo, \begin {align*} \begin {pmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 0 \end {pmatrix} \SL [2]{\R } = \{M\in \GL [2]{\R }\mid \det M = 5\}. \end {align*}

Ejemplo 2.98. Sea \(f:G\fto H\) un homomorfismo de grupos. Entonces \[ f^{-1}(f(g)) = \{x\in G\mid f(x) = f(g) \} = g\ker f \] para todo \(g\in G\). En efecto, pues vemos que Tenemos \begin {align*} f(x) = f(y) \ \Iff \ f(xy^{-1}) = 1_H \ \Iff \ xy^{-1}\in \ker f \ \Iff \ x\ker f = y\ker f. \end {align*} para cualesquiera \(x,y\in G\).

Demostración: Tenemos que \(xy^{-1}\in H\) si y sólo si \(yx^{-1} = (xy^{-1})^{-1}\in H\).

Demostración: Definimos la aplicación \(f\) de \(\{Hx\mid x\in G\}\) en \(\{xH\mid x\in G\}\) por \(f(Hx) = x^{-1}H\). De la proposición anterior se deduce que \(f\) está bien definida y que es una biyección.

Demostración: Se verifica fácilmente que la aplicación \(f:H\fto xH\) dada por \(f(h) = xh\) es una biyección.

Estas observaciones respecto del cardinal de las clases laterales nos dan de inmediato el resultado principal de esta sección.

Del corolario anterior podemos deducir deducir algunos resultados conocidos de la teoría de números.

Demostración: Si \((x,n) = 1\) entonces \([x]\in U(\Z _n)\), y por el corolario anterior \(\phi (n) = \Abs {U(\Z _n)}\) es un múltiplo del orden de \([x]\), luego debemos tener \([x]^{\phi (n)} = [1]\), de donde se sigue el resultado deseado.

Demostración: Si \(p\) es primo entonces \(\phi (p) = p - 1\), luego el corolario anterior nos da que \(x^{p-1} \equiv 1\mod p\), de donde se sigue la congruencia deseada.

Como consecuencia inmediata del teorema de Lagrange obtenemos la clasificación de todos los grupos de orden primo.

Demostración: Sea \(G\) un grupo de orden primo \(p\) y \(x\neq 1\) un elemento de \(G\). Entonces \(|x| > 1\) y \(|x|\) divide a \(p\) por el teorema 2.104, pero como \(p\) es primo, necesariamente \(|x| = p\), luego \(x\) ha de ser un generador de \(G\).

Corolario 2.108. Salvo isomorfía, los únicos grupos de orden \(4\) son \(\Z _4\) y el grupo \(\KleinV \) de Klein.

Demostración: Sea \(G\) un grupo no cíclico de orden 4. Si \(x\neq 1\) es elemento de \(G\), entonces el orden de \(x\) debe ser \(4\) o \(2\), pero como \(G\) no es cíclico debe ser \(\Abs x = 2\). Así pues, todo elemento no neutro de \(G\) es de orden \(2\), que es precisamente la cualidad que caracteriza al grupo \(\KleinV \).

El hecho siguiente en relación a los subgrupos de índice \(2\) nos servirá para demostrar que el grupo alternado \(A_4\) no tiene un subgrupo de orden \(6\) pese a que dicho número es un divisor del orden de \(A_4\), proporcionando así un contraejemplo al recíproco del teorema de Lagrange.

Proposición 2.109. Si \(H\) es un subgrupo de un grupo \(G\) con \([G:H] = 2\), entonces \(x^2\in H\) para todo \(x\in G\).

Demostración: Si \(x\in H\) entonces obviamente \(x^2\in H\), y si \(a = a^2a^{-1}\notin H\) entonces \(aH\neq a^2H\), luego \([G:H] = 2\) implica que \(a^2H = H\) y por tanto que \(a^2\in H\).

Proposición 2.110. El grupo \(A_4\) no tiene ningún subgrupo de orden \(6\).

Demostración: Si \(H\) fuera tal subgrupo, entonces \(H\) contendría a los cuadrados de todo elemento de \(A_4\). Sin embargo, los inversos de los \(3\)-ciclos de \(A_4\) son todos de esa forma, pues \(1 = (a\ b\ c)^3 = (a\ b\ c)(a\ b\ c)^2\), o sea que \((a\ b\ c)^{-1} = (a\ b\ c)^2\). Así, puesto que \(x\in H\) si y sólo si \(x^{-1}\in H\), el subgrupo \(H\) contiene a todos los \(8\) ciclos de longitud \(3\), en contradicción con que \(\Abs H = 6\).

Definición 2.111. Sea \(G\) un grupo y sea \(\powersetsym ^*(G)\) la colección de los subconjuntos no vacíos de \(G\). Si \(H,K\in \powersetsym ^*(G)\), el producto de \(H\) y \(K\) (en ese orden) es el elemento \( XY \) de \( \powersetsym ^*(G) \) dado por \[ XY = \{ hk\mid h\in H, k\in K \}. \] Cuando \(K = {x}\), escribiremos \( Hx \) y \( xH \) en lugar de \( H\{x\} \) y \( \{x\}H \), respectivamente.

La asociatividad del producto en \(G\) nos da la asociatividad del producto en \(\mathcal {P}^*(G)\), o sea que \[ (XY)Z = X(YZ) \] para cualesquiera \(X,Y,Z\in \powersetsym ^*(G)\). Además, es claro que \(1H = H1 = H\), luego \(\{1\}\in \powersetsym ^*(G)\) es una identidad en \( \powersetsym ^*(G) \), por lo que \( \powersetsym ^*(G) \) tiene estructura de monoide (teorema 2.12). Sin embargo, \( \powersetsym ^*(G) \) no es nunca un grupo salvo en el caso trivial \( G = \{1\} \), pues en cualquier otro caso existirán subconjuntos de \( G \) que no tienen inverso.

Si \(H\) es un subgrupo de \(G\), entonces obviamente \[ HH = H, \] y lo recíproco también es cierto cuando \(H\) es de orden finito, como se deduce de la teorema 2.57. No obstante, el lector debe estar prevenido de que el producto \(HK\) de dos subgrupos \(H\) y \(K\) de \(G\) no es en general un subgrupo, aunque la proposición de abajo nos da un criterio para determinar cuándo sí lo es. Más adelante (por ejemplo, en la ??) veremos otras condiciones bajo las cuales el producto de subgrupos es de nuevo un subgrupo.

Demostración: Para todo subconjunto \(X\) de \(G\), definamos \(X^{-1} = \{x^{-1}\mid x\in X\}\). Si \(H\) es un subgrupo de \(G\), obviamente \(H^{-1} = H\). Por tanto, si \(HK \subgr G\), \[ HK = (HK)^{-1} = K^{-1}H^{-1} = KH. \] Recíprocamente, si \(HK = KH\), tendremos que \((HK)^{-1} = K^{-1}H^{-1} = KH = HK\), o sea que \(HK\) cerrado respecto a la toma de inversos. A demás \[ (HK)(HK) = (HK)(KH) = H(KK)H = HKH = HHK = HK, \] de manera que también es cerrado respecto a la operación del grupo. Puesto que es claro que \(1\in HK\), la teorema 2.55 nos dice que \(HK\subgr G\).

En esta sección, nuestro interés principal en relación al producto de subconjuntos de un grupo es el resultado siguiente.

Demostración: Sea \(H\cap K = \{x_1,\ldots ,x_n\}\) y \(f:H\times K\fto HK\) la sobreyección dada por \(f(h,k) = hk\). Vamos a demostrar que para cada \(x\in HK\), tenemos \(|\,f^{-1}(\{x\})| = n\), de donde se sigue que \[ |H||K| = |H\times K| = |HK|n = |HK||H\cap K|. \] Sean \(h\in H\) y \(k\in K\) fijos y definamos \(h_i = hx_i\) y \(k_i = x_ik^{-1}\) para cada \(i=1,\ldots , n\). Es inmediato que \(f(h_i,k_i) = f(h,k)\) para todo \(i = 1, \ldots ,n\), así que \(|f^{-1}(\{hk\})|\geq n\). Por otra parte, si \(f(h',k') = f(h,k)\), entonces \(h'k' = hk\), es decir, \(h^{-1}h' = kk'^{-1}\in H\cap K\), luego \(h' = hx_i = h_i\) y \(k' = x_ik^{-1} = k_i\) para algún \(i=1,\ldots ,n\), y por lo tanto \(|\,f^{-1}(\{hk\})|\leq n\). Esto demuestra que \(|\,f^{-1}(\{x\})| = n\).

Observemos que si dividimos la igualdad del teorema anterior entre \( K \), obtenemos \[ \frac {\Abs H}{\Abs {H\cap K}} = \frac {\Abs {HK}}{\Abs K}, \] de modo que si \( HK \) es a su vez un grupo, tendremos \begin {equation} \label {eq:rel ind intersec prod} [H:H\cap K] = [HK:K]. \end {equation}

Demostración: Sabemos que el teorema es cierto para \(p = 2\), pues los únicos subgrupos de orden \(4\) son \(\Z _4\) y \(\KleinV \simeq \Z _2\times \Z _2\), y este último es \(D_4\) de acuerdo con la definición xxx. Supongamos pues que \(p > 2\) y que \(G \not \simeq \Z _{2p}\), de tal manera que todos los elementos de \(G\) son de orden menor a \(2p\). Vamos a demostrar que esto implica que \(G\simeq D_{2p}\). Comenzamos por comprobar que \(G\) tiene un elemento de orden \(p\), pues si no fuese así todo elemento no neutro de \(G\) sería de orden \(2\), lo que implicaría que \(G\) es isomorfo al producto \(\Z _2\times \cdots \times \Z _2\) de \(p > 2\) copias de \(\Z _2\), y por tanto contendría un subgrupo isomorfo a \(\KleinV \), lo que no puede ser, porque \(\Abs {\KleinV } = 4 \nmid 2p\) para \(p > 2\). Sea pues \(r\) un elemento de \(G\) de orden \(p\). Entonces \([G:\genby {r}] = 2\) y por tanto \(\genby r\) contiene a todos los cuadrados de elementos de \(G\). Tomando un \(s\notin \genby r\), el hecho de que \(s^2\in \genby r\) implica que \(s\notin \genby {s^2}\) y por tanto que \(\Abs {s^2} < \Abs s\), y como \(\Abs {s^2} = \Abs s / \mcd {2,\Abs s}\), \(\Abs s\) tiene que ser divisible entre \(2\) y así \(\Abs s \neq p\), luego necesariamente \(\Abs s = 2\). De todo esto concluimos también que \(\genby r \cap \genby s = \{1\}\), o sea que \(\Abs {\genby {r,s}} = 2p\). Puesto que \(rs\notin \genby r\), \(rs\) es de orden \(2\), de donde se sigue que \(rs = sr^{-1}\).