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2.1 Operaciones binarias; semigrupos y monoides

Definición 2.1. Una operación binaria (o simplemente operación) en un conjunto \(X\) es una aplicación \(\ast : X\times X\fto X\) que envía a cada par \((x,y)\) de elementos de \(X\) a otro elemento de \(X\) representado por \(x\ast y\).

Observemos que, como una operación binaria en \(X\) es una aplicación de dominio \(X\times X\), ésta debe estar definida para todo \((x,y)\in X\times X\). Así, por ejemplo, mientras que la suma \((x,y)\mto x + y\) y la multiplicación \((x,y)\mto xy\) ordinarias en los conjuntos numéricos elementales (\(\N \), \(\Z \), \(\Q \), \(\R \) y \(\Cx \)) son operaciones binarias, la resta lo es en todos estos conjuntos excepto \(\N \), pues ahí no tenemos definido a \(x - y\) cuando \( y > x \). Una situación similar la encontramos con la división ordinaria, que no es una operación binaria en ninguno de los conjuntos numéricos anteriores (por no estar definida la división entre cero), aunque sí lo es, por ejemplo, en \(\Q ^* = \Q \setminus \{0\}\).

Para simplificar la notación, por lo regular emplearemos los símbolos \(+\) y \(\cdot \) para representar operaciones binarias aunque no se traten de la suma o de la multiplicación de siempre. Del uso de uno u otro símbolo se desprenden las dos notaciones que se describen a continuación:

La notación aditiva.

En esta notación una operación en un conjunto \(X\) se representa por \(+\) y se llama suma a la imagen \(x+y\) de \((x,y)\in X\times X\) por \(+\). En \(x+y\), decimos que \(x\) y \(y\) son los términos de la suma.

La notación multiplicativa.

En esta notación una operación en un conjunto \(X\) se denota por \(\cdot \) y a la imagen de \((x,y)\) se le representa por \(x\cdot y\) o simplemente por \(xy\), y se denomina producto de \(x\) y \(y\) (en ese orden), los cuales a su vez se dicen los factores del producto.

El lector debe acostumbrarse a leer ambas notaciones sin atribuirle a las operaciones, por mera familiaridad con los símbolos y términos utilizados, propiedades que no hayan sido probadas o asumidas de forma explícita, pues aquí trataremos con varias operaciones que, si bien las llamaremos sumas o productos, sólo desde un punto de vista suficientemente abstracto se asemejan a las operaciones elementales a las que estos términos suelen hacer referencia. De hecho, en lo sucesivo nos vamos a adherir principalmente a la notación multiplicativa para seguir introduciendo algunos conceptos y resultados en torno a las operaciones binarias en general.

Al trabajar con una operación binaria \(\cdot \) en un conjunto \(X\), debemos tomar en cuenta que las expresiones como \[ xyz, \] donde \(x,y,z\in X\), no están definidas de antemano, ya que, como el nombre lo indica, la operación binaria sólo puede actuar sobre dos elementos de \(X\), de manera que la expresión anterior no podrá entenderse hasta indicar la forma en que debe calcularse operando únicamente con dos factores a la vez. La forma usual de hacer esto es, desde luego, insertando paréntesis y acordar que \((xy)z\) representa el resultado de calcular primero \(xy\) y después multiplicar lo obtenido por \(z\), y que \(x(yz)\), por otra parte, representa el producto de \(x\) por el resultado de calcular \(yz\). Por supuesto, una operación es mucho menos tediosa si con ella ambos cálculos nos llevan al mismo resultado para cualesquiera que sean los elementos \(x, y, z \in X\).

Definición 2.2. Una operación binaria \(\cdot \) en un conjunto \(X\) es asociativa si para cualesquiera \(x,y,z\in X\), \[ x(yz) = (xy)z. \]
Definición 2.3. Un semigrupo es un par \((G,\cdot )\) con \(G\) un conjunto no vacío y \(\cdot :G\times G\fto G\) una operación asociativa en \(G\).

Por lo regular hablaremos de un semigrupo \(G\) para referirnos al semigrupo \((G,\cdot )\) cuando no haya posibilidad de confusión sobre cuál es la operación del semigrupo.

La suma y la multiplicación en \(\R \) (o en cualquier otro de los conjuntos numéricos elementales) son ejemplos inmediatos de operaciones asociativas, por lo que \((\R ,+)\) y \((\R ,\cdot )\) son ambos semigrupos, mientras que la resta y la división (en \(\R \) y en \(\R \setminus \{0\}\), respectivamente) son ejemplos elementales de operaciones no asociativas. Por ejemplo, tenemos que \[ 5 - (2 - 1) = 4 \qquad \text {y}\qquad (5 - 2) - 1 = 2. \]

Cuando tratamos con una operación asociativa, los productos de tres elementos ya no resultan ambiguos, pues da igual si pensamos en \(xyz\) como \(x(yz)\) o como \((xy)z\), y por tanto podemos prescindir de los paréntesis. Un razonamiento inductivo nos dice que esto mismo ocurre para el caso de productos con cualquier número de factores. Para probar esto con formalidad, vamos a convenir que, de inicio, la forma correcta de efectuar la multiplicación de varios factores es calculando de izquierda a derecha, como se precisa a continuación.

Definición 2.4. Sea \(\cdot \) una operación binaria en un conjunto \(X\), \(n\) un entero positivo y \(x_1,\ldots ,x_n\) elementos de \(X\). El producto de \(x_1,\ldots ,x_n\) (en ese orden) se representa por \(\prod _{i=1}^n x_i = x_1 \cdots x_n\) y se define inductivamente por la fórmula \[ \prod _{i = 1}^n x_i = x_1\cdots x_n = \begin {cases} x_1 & \text {si}\ n = 1; \\ (x_1\cdots x_{n-1})x_n & \text {si}\ n > 1. \end {cases} \] En la notación aditiva, la operación sobre los elementos \(x_1,\ldots , x_n\) se denota por \(x_1 + \cdots + x_n\) o por \(\sum _{i = 1}^n x_i\).
Nota: Cuando una operación se lee como lo especifica la definición anterior, decimos que ésta es asociativa por la izquierda, pues en tal caso un producto se calcula agrupando factores desde la izquierda. Por ejemplo, \[ x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 = (((x_1 x_2) x_3) x_4) x_5. \] La asociatividad por la izquierda constituye la forma convencional de hacer cálculos con las operaciones matemáticas elementales, y es así como las calculadoras numéricas evalúan (o deberían evaluar) operaciones con más de dos factores o términos. Esta cuestión debe tenerse presente para entender resultados con operaciones que no son asociativas si decidimos omitir paréntesis. Por ejemplo, de acuerdo con esta convención tenemos que \[ 5 - 3 - 1 = (5 - 3) - 1 = 1. \]

Probaremos pues que, cuando una operación es asociativa, podemos insertar paréntesis de manera arbitraria en productos de cualquier número de factores sin cambiar el resultado.

Teorema 2.5 (Ley asociativa general). Si \(G\) es un semigrupo y \(x_1,\ldots ,x_n\) elementos de \(G\) con \(n > 1\), entonces, para cualesquiera enteros \(r\) y \(s\) tales que \(r + s = n\), tenemos \[ \prod _{i = 1}^n x_i = \left ( \prod _{i = 1}^r x_i \right ) \left ( \prod _{i = 1}^s x_{i + r} \right ). \]
Demostración: Por inducción sobre \(n = r + s\). El caso base \(n = 2\) es obvio. Supongamos el teorema cierto para productos de \(n > 1\) factores o menos. Si \(r + s = n + 1\), entonces \begin {align*} \prod _{i=1}^{r+s} x_i & = \left (\prod _{i=1}^{r+s-1} x_i\right )x_{r+s} \\ & = \left [ \left ( \prod _{i=1}^r x_i \right ) \left ( \prod _{i=1}^{s-1} x_{i+r} \right ) \right ] x_{r+s} \\ & = \left ( \prod _{i=1}^r x_i \right ) \left [ \left ( \prod _{i=1}^{s-1} x_{i+r} \right ) x_{r+s} \right ] \\ & = \left ( \prod _{i=1}^r x_i \right ) \left ( \prod _{i=1}^{s} x_{i+r} \right ). \end {align*}
Definición 2.6. Si \(X\) es un semigrupo, \(x\in X\) y \(n\) un entero positivo, definimos \[ x^n = \prod _{i=1}^n x. \] En la notación aditiva, escribimos \(nx = \sum _{i=1}^n x\).
Corolario 2.7 (Leyes de los exponentes). Para todo elemento \(x\) de un semigrupo \(G\) y cualesquiera enteros positivos \(m\) y \(n\), se cumplen
  1. \(x^m x^n = x^{m+n}\);
  2. \((x^m)^n = x^{mn}\).
Demostración: (a) es un caso particular de la ley asociativa general (teorema 2.5). (b) Se deduce de (a) y de una inducción sobre \(n\), pues \((x^m)^{n+1} = (x^m)^n x^m = x^{mn}x^m = x^{mn + m} = x^{m(n+1)}\).

Notemos que, en la notación aditiva, las conclusiones del corolario anterior se expresan así: \[ nx + mx = (n + m)x\qquad \text {y}\qquad n(mx) = (nm)x. \]

Hay otra propiedad que poseen algunas operaciones con la cual el lector está sin duda familiarizado:

Definición 2.8. Una operación \(\cdot \) en un conjunto \(X\) se dice conmutativa si \[ xy = yx \] para cualesquiera \(x,y\in X\). Diremos que un semigrupo es conmutativo si su operación es conmutativa.
Ejercicio 2.9. Sea \(\star \) la operación “promedio” en el conjunto de los números racionales, o sea que \(x\star y = (x + y)/2\) para cualesquiera \(x,y\in \Q \). Demostrar que esta operación es conmutativa pero no asociativa.
Solución: PENDIENTE.

Probaremos ahora que en un semigrupo conmutativo, similar a como ocurre con la asociatividad (teorema 2.5), la conmutatividad puede extenderse a cualquier número de factores.

Teorema 2.10 (Ley conmutativa general). Sea \(G\) un semigrupo conmutativo y supongamos que \( x_1,\ldots , x_n \) son \( n \geq 1 \) elementos de \(X\). Entonces \[ \prod _{i = 1}^n x_i = \prod _{i = 1}^n x_{\sigma (i)} \] para cualquier biyección \(\sigma : \{1,\ldots ,n\}\fto \{1,\ldots ,n\}\).
Demostración: Por inducción sobre \(n\). Para \(n=1\) el teorema se verifica trivialmente. Supongámoslo cierto para todo entero menor o igual que cierto entero \(n\) y sea \(j = \sigma ^{-1}(n+1)\). Entonces \begin {align*} \prod _{i=1}^{n+1} x_{\sigma (i)} & = \left ( \prod _{i=1}^{j-1} x_{\sigma (i)} \right ) \cdot x_{n+1} \cdot \left ( \prod _{i=1}^{n+1 - j} x_{\sigma (j + i)} \right ) \\ & = \left ( \prod _{i=1}^{j-1} x_{\sigma (i)} \right ) \left ( \prod _{i=1}^{n+1-j} x_{\sigma (j + i)} \right ) \cdot x_{n+1}, \end {align*} donde la posibilidad de reordenar de los productos de la última igualdad se sigue de la hipótesis de inducción. Sea \(\psi \) la biyección de \(\{1,\ldots ,n\}\) en sí mismo dada por \[ \psi (i) = \begin {cases} \sigma (i) & i < j \\ \sigma (i + 1) & i \geq j. \end {cases} \] Entonces \begin {align*} \prod _{i=1}^{n+1} x_{\sigma (i)} & = \left ( \prod _{i=1}^{j-1} x_{\psi (i)} \right ) \left ( \prod _{i=1}^{n+1-j} x_{\psi (j + i)} \right ) \cdot x_{n+1} \\ & = \left ( \prod _{i=1}^n x_{\psi (i)} \right ) \cdot x_{n+1} \\ & = \left ( \prod _{i=1}^n x_i \right )\cdot x_{n+1} \\ & = \prod _{i=1}^{n+1} x_i. \\ \end {align*}
Definición 2.11. Sea \(X\) un conjunto y \(\cdot \) una operación binaria en \(X\). Un elemento \(e\in X\) se dice una identidad (o elemento neutro) de \(X\) (respecto de la operación \(\cdot \)) si para todo \(x\in X\), \[ x e = e x = x. \]

Existe un término para referirnos a los sistemas algebraicos en los que contamos con una identidad:

Definición 2.12. Un semigrupo es un monoide si cuenta con identidad respecto de su operación.

Es inmediato que un monoide \(G\) no puede tener más de una identidad: si \(e\) y \(e'\) son identidades en \(G\), entonces \(e' = e' \cdot e = e\), luego estamos hablando del mismo elemento.

Usaremos los símbolos \(1\) y \(0\) para representar a la identidad de un monoide según se esté utilizando la notación multiplicativa o la aditiva, respectivamente. Además, usaremos un subíndice, como en “\(1_G\)”, cuando resulte necesario aclarar el monoide al que pertenece una identidad dada.

Ejemplo 2.13. El ejemplo más elemental e inmediato de monoide es posiblemente el conjunto \(\N \) de los números naturales con su suma usual, para la cual el cero es la identidad. Por supuesto, \(\N \) es también un monoide multiplicativo con identidad \(1\), como también lo es el conjunto \(\N \setminus \{0\} = \Z ^+\) de enteros positivos.
Ejemplo 2.14. El conjunto \(\{2n + 1\mid n\in \Z \}\) de los enteros impares es un monoide respecto de la multiplicación ordinaria.
Ejemplo 2.15. El conjunto de las matrices cuadradas de \(n\times n\) con componentes en \(\R \) forma un monoide respecto de la suma o la multiplicación usual de matrices.
Ejemplo 2.16. Si \(S\) es un conjunto cualquiera, el conjunto \(S^S\) de todas las aplicaciones de \(S\) en sí mismo es un monoide respecto de la composición de aplicaciones. Aquí la identidad es la aplicación identidad, \(\Id _{S}:S\fto S\) dada por \(\Id _{S}(x) = x\) para todo \(x\in S\).

Cuando \(G\) es un monoide, podemos extender la definición de las potencias de elementos de \(G\) (teorema 2.6) para incluir exponentes nulos, estableciendo que \[ x^0 = 1 \] para todo \(x\in G\). Es inmediato que esta definición es consistente con las leyes de los exponentes (teorema 2.7).

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